\(a;b>0\Rightarrow3a+2b+1>1\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\) đồng biến

Mà \(9a^2+b^2\ge2\sqrt{9a^2b^2}=6ab\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)=1\\3a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6ab+1=3a+2b+1\\b=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow18a^2+1=3a+6a+1\)

\(\Leftrightarrow18a^2-9a=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a: Ápdụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{-2}=\dfrac{a+b}{5-2}=\dfrac{12}{3}=4\)

=>a=20; b=-8

b: 5a=4b

=>a/4=b/5

Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{3a-2b}{3\cdot4-2\cdot5}=\dfrac{42}{2}=21\)

=>a=84; b=105

\(a-b=13\Rightarrow a=b+13\)

thay \(a=b+13\) vào biểu thức thì ta có:

\(\frac{3a-b}{2a+13}-\frac{3b-a}{2b-13}=\frac{3\left(b+13\right)-b}{2\left(b+13\right)+13}-\frac{3b-\left(b+13\right)}{2b-13}\)

\(=\frac{2b+39}{2b+39}-\frac{2b-13}{2b-13}=1-1=0\)

ta có:3a=2b;5b=7c và 3a+5b-7c=60

=>\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Rightarrow\frac{a}{14}=\frac{b}{21}\left(1\right)\)

=>\(\frac{b}{7}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{21}=\frac{c}{15}\left(2\right)\)

từ (1) và (2) ta có :

a/14=b/21=1/15

áp dụng tính chất dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a}{14}=\frac{b}{21}=\frac{c}{15}=\frac{3a+5b-7c}{3.14+5.21-15.7}=\frac{60}{42}=\frac{10}{7}\)

=>a=10/7.14=20

b=10/7.21=30

c=10/7.15=150/7

ta có:

3a=2b suy ra a/2=b/3 suy ra a/14=b/21

5b=7c suy ra b/7=c/5 suy ra b/21=c/15

suy ra: a/14=b/21=c/15=(3a+5b-7c)/(42+105-105)=60/42=10/7

ta có:

a=10/7x14=20

b=10/7x21=30

c=10/7x15=150/7