Giả sử các số nguyên tố là một dãy hữu hạn, tăng dần như sau:

\(2;3;5;7;.........;n\)

Xét số \(p=\left(2\times3\times5\times7\times.....\times n\right)+1\)

ta thấy ngay p không chia hết cho \(2;3;5;7;...;n\)

=> p cũng là một số nguyên tố.

Vậy điều giả sử sai hay có vô hạn số nguyên tố.

Bổ sung bằng việc chứng minh mệnh đề: \(k.a+1\)luôn không chia hết cho a với mọi \(a\in N;\text{ }a\ge2;\text{ }k\in N\text{*}\)

Điều trên là hiển nhiên vì 

\(ka\)chia hết cho \(a\)

\(1\)không chia hết cho \(a\)

nên tổng \(ka+1\)luôn không chia hết cho a.

Giả sử 99 số đó đều không lớn hơn 1

Đặt \(a_1\le a_2\le a_3\le...\le a_{99}\le11\)

Lúc đó: \(a_1+a_2+a_3+...+a_{99}\le99< 100\)

Vậy điều giả sử là sai. 

Suy ra được:  Nếu tổng của 99 số bằng 100 thì có ít nhất 1 số lớn hơn 1.

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left[\left(a,b\right)=1\right]\)

\(\Rightarrow a^2=2b^2\)(1)\(\Rightarrow a^2⋮2\)

Mà 2 là số nguyên tố nên \(a⋮2\)

Đặt a = 2k.Thay vào (1), ta được: \(4k^2=2b^2\Rightarrow2k^2=b^2\)

\(\Rightarrow b^22⋮\).Mà 2 là số nguyên tố nên \(b⋮2\)

Vậy a và b cùng chia hết cho 2, trái với (a,b) =1

Vậy \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ hay \(\sqrt{2}+3\)là số vô tỉ (đpcm)

Vì 3 là số hữu tỉ rồi nên phải cần c/m √2 là số vô tỉ là đc!

Giả sử √2 là số hữu tỉ 
=> √2 = a/b với a, b nguyên và a/b tối giản hay (a ; b) = 1 (1) 
√2 = a/b 
<=> 2 = a²/b² 
<=> b² = a²/2 
=> a² chia hết cho 2 
=> a chia hết cho 2 (vì 2 là số nguyên tố) (2) 
=> a = 2k. Thay vào : 
2 = a²/b² 
<=> 2 = (2k)²/b² 
<=> b² = 2k² 
=> b² chia hết cho 2 
=> b chia hết cho 2 (3) 
Từ (2) và (3) => ƯC (a ; b) = 2 
=> Mâu thuẫn (1) 
=> Điều giả sử là sai 
=> √2 là số vô tỉ (đpcm)

cảm ơn các bạn nhìu nha

Này là toán lớp 7

Lớp 10 đấy

 Cách khác (theo cách lớp 7):

Xét tam giác ABC vuông tại A,trung tuyến AD.Ta cần chứng minh: \(AD=\frac{1}{2}BC\)

Ta chứng minh ngược lại,tức là \(AD\ne\frac{1}{2}BC\)

+ Nếu \(AD>\frac{1}{2}BC\Rightarrow\widehat{B}>\widehat{A_2},AD>CD\Leftrightarrow\widehat{C}>\widehat{A}\) (Đ.lí về cạnh đối diện với góc trong tam giác)

Hay \(\widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_2}+\widehat{A_1}=90^o>\widehat{A}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

+ Chứng minh tương tự với \(AD< \frac{1}{2}BC\) được: \(\widehat{B}+\widehat{C}< \widehat{A_2}+\widehat{A_1}\Leftrightarrow90^o< \widehat{A}\) (mâu thuẫn)

Vậy ta luôn có: \(AD=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)

Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Tham khảo thêm: Câu hỏi của Nguyễn Huỳnh Minh Thư - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath