Giả sử các số nguyên tố là một dãy hữu hạn, tăng dần như sau:

\(2;3;5;7;.........;n\)

Xét số \(p=\left(2\times3\times5\times7\times.....\times n\right)+1\)

ta thấy ngay p không chia hết cho \(2;3;5;7;...;n\)

=> p cũng là một số nguyên tố.

Vậy điều giả sử sai hay có vô hạn số nguyên tố.

Bổ sung bằng việc chứng minh mệnh đề: \(k.a+1\)luôn không chia hết cho a với mọi \(a\in N;\text{ }a\ge2;\text{ }k\in N\text{*}\)

Điều trên là hiển nhiên vì 

\(ka\)chia hết cho \(a\)

\(1\)không chia hết cho \(a\)

nên tổng \(ka+1\)luôn không chia hết cho a.

Với \(n=0\Rightarrow0-0+0-0+0-0=0⋮24\left(đúng\right)\)

Với \(n=1\Rightarrow1-3+6-7+5-2=0⋮24\left(đúng\right)\)

G/s \(n=k\Rightarrow\left(k^6-3k^5+6k^4-7k^3+5k^2-2k\right)⋮24\)

\(\Rightarrow k\left(k^5-3k^4+6k^3-7k^2+5k-2\right)⋮24\\ \Rightarrow k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2-k+2\right)⋮24\)

Với \(n=k+1\), ta cần cm \(\left[\left(k+1\right)^6-3\left(k+1\right)^5+6\left(k+1\right)^4-7\left(k+1\right)^3+5\left(k+1\right)^2-2\left(k+1\right)\right]⋮24\)

Ta có \(\left(k+1\right)^6-3\left(k+1\right)^5+6\left(k+1\right)^4-7\left(k+1\right)^3+5\left(k+1\right)^2-2\left(k+1\right)\)

\(=\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)^5-3\left(k+1\right)^4+6\left(k+1\right)^3-7\left(k+1\right)+5\left(k+1\right)-2\right]\\ =\left(k+1\right)\left(k+1-1\right)\left[\left(k+1\right)^2-\left(k+1\right)+1\right]\left[\left(k+1\right)^2-\left(k+1\right)+2\right]\\ =k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2+k+2\right)\)

Mà theo GT quy nạp ta có \(k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)\left(k^2+k+2\right)⋮24\)

Vậy ta được đpcm

Gỉa sử a là số nguyên nào đó mà a^2+1 có ước nguyên tố p có dạng 4k+3

=> a^2+1 chia hết cho p => a^4k+2 +1 chia hết cho p     (1)

mặt khác theo định lý nhỏ của Fermat ta có a^p-1 -1 chia hết cho p hay a^ak+2 -1 chia hết cho p    (2) Từ (1),(2) => 2 chia hết cho p mà số nguyên tố chia hết cho 2 là 2=> p=2. Mâu thuẫn với giả thiết p có dạng 4k+3

=> với mọi số nguyên a thuộc Z không có ướ nguyên tố dạng 4k+3

Mọi người giúp mìk với mìk k bik làm bạn nào chuyên toán chỉ mìk vs ạ mìk cảm ơn nhiều ❤️❤️❤️❣️❣️

dài  vvvvvvvvvvvvv