Chứng minh rằng nếu \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)và a,b,c,d là các số dương thì \(a=b=c=d\)
help me
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng nếu \(a^3+b^3+c^3=3abc\)và a,b,c,d là các số dương thì a=b=c
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3+3abc=0\)
\(\Rightarrow[\left(a+b\right)^3+c^3]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) => a = b = c (vì a ; b ; c là các số dương)
Giải (2) ta có:
\(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge\forall a,b\)
\(\left(a-c\right)^2\ge\forall a,c\)
\(\left(b-c\right)^2\ge\forall b,c\)
\(\Rightarrow\)Ta có: \(a-b=a-c=b-c\Rightarrow a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) chứng tỏ rằng nếu a/b < c/d ( b > 0 , d > 0 ) thì a/b <a+c/b+d<c/d
b) hãy viết 3 số hữu tỉ xen giữa -1/3 và -1/4
Chứng minh rằng : Với n ϵ N, thì các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau
a) n+1 và 2n+3
b) n+1 và 3n+4
c) 2n+3 và 4n+8
d) n+3 và 2n+5
LÀM 1 CÂU BẤT KÌ CŨNG ĐƯỢC Ạ
a,
Gọi \(d=ƯC\left(n+1;2n+3\right)\) với \(d\in N\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+3-2\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+3\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)
Các câu sau em biến đổi tương tự
Đúng 0
Bình luận (0)
B1.Cho hai số hữu tỉ a/b và c/d (b>0;d>0) chứng tỏ rằng:
Nếu a/b > c/d thì ad < bc
Nếu ad < bc thì a/b < c/d
B2.
a) chứng tỏ rằng nếu a/b < c/d (b>0;d>0) thì a/b < a+c/b+d < c/d
b) hãy viết bốn số hữu tỉ xen giữa -1/2 và -1/3
Cho hai đa thức A = 5x + y + 1 và B = 3x - y + 4 . Chứng minh rằng nếu x = m và y = n với m và n là một số tự nhiên thì tích A . B là một số chẵn
2 trường hợp:
1,m;n cùng dấu.
2,m;n khác dấu.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c,d là các số không bằng nhau và (a+b+c+d).(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) chứng minh rằng a:c=b:d
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(a-d\right)^2=\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(2d\times2a=2b\times2c\)
\(ad=bc\)
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(\text{đ}pcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn 4n4+1 là số nguyên tố
2.Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn điều kiện ad= b2-bc+c2.Chứng minh rằng a2 +4b2+4c2+16d2 là hợp số
Ta có
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
= (n2 + 2 )2 – (2n)2
= (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố.
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng:
a, Nếu p và p2+8 là các số nguyên tố thì p2+2 cũng là số nguyên tố.
b, Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố.
Chứng minh rằng:
a, Nếu p và p2+8 là các số nguyên tố thì p2+2 cũng là số nguyên tố.
b, Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố.
a) - Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(p^2+8=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+12⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 do p là số nguyên tố => \(p^2+8=9+8=17\) (t/m)
Ta có: \(p^2+2=11\). Mà 11 là số nguyên tố => điều phải chứng minh.
b) (Làm tương tự bài trên)
- Do p là số nguyên tố => p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(8p^2+1=8\left(3k+1\right)^2+1=8\left(9k^2+6k+1\right)+1=3k.8\left(3k+2\right)+\left(8+1\right)⋮3\)(hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(8p^2+1=8\left(3k+2\right)^2+1=8\left(9k^2+12k+4\right)+1=3k.8\left(3k+4\right)+\left(32+1\right)⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 Do p là số nguyên tố => \(8p^2+1=8.9+1=73\)(t/m)
Ta có : \(2p+1=7\). Mà 7 là số nguyên tố => Điều phải chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (1)