(Nghi binh 20/09)

Cho \(a_1,a_2,...,a_n>0;3\le n\in N.\)  Đặt:

\(A_1=\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2}\)

\(A_2=\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_n}+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1}\)

Chứng minh rằng: \(Max\left\{A_1,A_2\right\}\ge\frac{n}{2}\)

Chứng minh rằng với mọi số dương \(a_1,a_2,...,a_n\) ta luôn có :

\(a_1^{\dfrac{1}{2}}+a^{\dfrac{2}{3}}_2+...+a_n^{\dfrac{n}{n+1}}\le a_1+a_2+...+a_n+\sqrt{\dfrac{2\left(\pi^2-3\right)}{9}\left(a_1+a_2+...+a_n\right)}\)

Chứng minh các bất đẳng thức:

\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)

Cho \(a_1\le a_2\le....\le a_n\)  thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a_1+a_2+a_3+...+a_n=0\\\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\left|a_3\right|+...+\left|a_n\right|=1\end{cases}}\)

CMR: \(a_n-a_1\ge\frac{2}{n}\)

Chm bđt:

\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)

Chm bđt:

\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)

cho a_1,a_2,...,a_n>0, gọi m= min {a_1, a_2, ..., a_n} và M = max {a_1, a_2, ..., a_n}, A = a_1 +a_2 + ...+ a_n và B=1/a_1 + ...+ 1/a_n.

CMR B\(\le\)1/mM.[n(m+M) - A]

Cho n số thực \(a_1;a_2;...;a_n\) thoả mãn \(a_1^2+a_2^2+..+a_n^2=3\).

Chứng minh rằng: \(\left|\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+..+\frac{a_n}{n+1}\right|\le\sqrt{2}\)

Cho \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_1}\)

Tính: 

a) \(\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}\)              b) \(\frac{a_1^7+a_2^7+...+a_n^7}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^7}\)

Help me, please!