CM  (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)

VT : (ax+by)² = a²x² + 2.ax.by + b²y²

VP : (a²+b²)(x²+y²) = a²x² + a²y² + b²x² + b²y² 

Vi a²x² = a²x²

    b²y² = b²y²

mà 2.ax.by <  a²y² + b²x² ( Theo bất đẳng thức Cosi )

=> VP < VT

=>  (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)     ( đpcm )

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² \(\forall a,b,c,d\)

↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² \(\forall a,b,c,d\)

↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd \(\forall a,b,c,d\) 

↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 \(\forall a,b,c,d\) 

↔ (ad - bc)² ≥ 0 \(\forall a,b,c,d\) 

=> luôn đúng

Vậy.....

!Chúc Bạn Học Tốt!

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Sửa đề:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Xét hiệu:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)

\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)

\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)

\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

Xét hiệu:

(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)

= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz

= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)

= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)

= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]

= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)

do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)

thêm một chút nhé

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c và x=y=z

VP=\(A^2X^2+B^2Y^2+C^2Z^2+A^2Y^2+B^2X^2+A^2Z^2+C^2X^2+B^2Z^2+C^2Y^2\)

=\(A^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)+B^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)+C^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)\)

=\(\left(X^2+Y^2+Z^2\right)\left(A^2+B^2+C^2\right)\)

Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh