Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=3\end{cases}}\)Tìm Min \(A=\frac{x^2}{x^2+5xy+y^2}+\frac{y^2}{y^2+5yz+z^2}+\frac{z^2}{z^2+5xz+x^2}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\)
Tìm Min A=\(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
a) Gọi 3 số cần tìm lần lượt là x;y;z. Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+3+5}=\frac{310}{10}=31\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=31\\\frac{y}{3}=31\\\frac{z}{5}=31\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=62\\y=93\\z=155\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình:
a)\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{8}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{12}{5}\\\frac{zx}{z+x}=\frac{24}{7}\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=z\\\frac{2z^2}{1+z^2}=x\end{cases}}\)
c)\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=2-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{cases}}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\end{cases}}\)Tìm min A = \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{zx}\)
Ta có \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có
\(\sqrt{\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\right)\left(1+2\right)}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\right)^2}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\)
=> \(\sqrt{3}A\ge3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3\)
=> \(A\ge\sqrt{3}\)
\(MinA=\sqrt{3}\)khi x=y=z=3
Giải các hệ phương trình:
a) \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\y+\frac{1}{z}=2\\z+\frac{1}{x}=2\end{cases}}\)
c)\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6}\\x^2-y^2=5\end{cases}}\)
b) Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: x,y,z. Vì x,y,z tỉ lệ nghịch với 2;3;5 nên
\(2x=3y=5z\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{310}{\frac{31}{30}}=300\\x+y+z=310\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{2}}=300\\\frac{y}{\frac{1}{3}}=300\\\frac{z}{\frac{1}{5}}=300\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}.300\\y=\frac{1}{3}.300\\z=\frac{1}{5}.300\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=150\\y=100\\z=60\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình:
a)\(\hept{\begin{cases}x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{51}{4}\\x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{771}{16}\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
a) ĐK: x, y, z khác 0
\(\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{51}{4}\\\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{867}{16}\end{cases}}\)
\(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b;z+\frac{1}{z}=c\)
Ta có hệ >:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=\frac{867}{4}\\a^2+b^2+c^2=\frac{867}{16}\end{cases}}\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{867}{16}\) với mọi a, b,c
"=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Hay \(x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}=z+\frac{1}{z}=\frac{17}{4}\) giải ra tìm x, y, z
b) Hệ đối xứng:
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
Đặt x+y=S, xy=P
Ta có hệ :
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\\S^2-2P=6\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}P=2+3\sqrt{2}-S\\S^2-2\left(2+3\sqrt{2}-S\right)=6\end{cases}}\)
Tự giải tìm S, P
=> x,y
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\hept{\begin{cases}x^3+y^3+x^2\left(y+z\right)=xyz+14\\y^3+z^3+y^2\left(x+z\right)=xyz-21\\z^3+x^3+z^2\left(x+y\right)=xyz+7\end{cases}}\)
b)\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=\frac{3}{2}\end{cases}}\)
Bài b nhé bạn!
\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}}{2}=1\)
Trừ lại từng phương trình trong hệ:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{yz}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{xz}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\xz=3\end{cases}\Rightarrow xyz=\sqrt{2.6.3}=6}\)
Chia lại từng phương trình trong hệ mới, được:
\(\hept{\begin{cases}z=3\\x=1\\y=2\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)
Xong rồi đó!!!
Giải hệ: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x-y}+\frac{y}{y-z}+\frac{z}{z-x}=0\\\frac{x}{\left(x-y\right)^2}+\frac{y}{\left(y-z\right)^2}+\frac{z}{\left(z-x\right)^2}=0\end{cases}}\)
Ây da :D Con ông Lệ bà Việt đây chứ đâu ? Á HÁ HÁ HÁ , gà :3 ko biết làm ak ?
\(\frac{x}{x-y}+\frac{y}{y-z}+\frac{z}{z-x}=0\left(1\right)\)
\(\frac{x}{\left(x-y\right)^2}+\frac{y}{\left(y-z\right)^2}+\frac{z}{\left(z-x\right)^2}=0\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\left(\frac{x}{x-y}\right)^2+\left(\frac{y}{y-z}\right)^2+\left(\frac{z}{z-x}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x-y\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-z\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)^2}=0\)
Trừ vế với vế
\(\frac{x^2-x}{\left(x-y\right)^2}+\frac{y^2-y}{\left(y-z\right)^2}+\frac{z^2-z}{\left(z-x\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-x=0\\y^2-y=0\\z^2-z=0\end{cases}}\)
<=> x=0 hoặc x=1; y=0 hoặc y=1; z=0 hoặc z=1
Mà \(x\ne y\ne z\)=> PT vô nghiệm
Mạnh dạn cho bạn Harlay 1 cái ti.c.k sai :)
Chỗ \(\Sigma\frac{x^2-x}{\left(x-y\right)^2}=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-x=0\\y^2-y=0\\z^2-z=0\end{cases}????}\) tôi cần 1 lí do chính đáng cho chỗ này :)
Giải. (ĐKXĐ: x; y ; z khác nhau đôi một)
Ta có\(\left(1\right)\Rightarrow\frac{x}{x-y}=-\left(\frac{y}{y-z}+\frac{z}{z-x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x-y}=-\frac{yz-yx+zy-z^2}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x-y}=-\frac{-z^2-xy+2yz}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{z^2+xy-2yz}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\left(x-y\right)^2}=\frac{z^2+xy-2yz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
Tương tự cho 2 hạng tử còn lại của pt (2)
Khi đó pt (2) trở thành \(\frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
Theo bđt quen thuộc => x=y=z (ko thỏa mãn ĐKXĐ)
=> vô nghiệm