\(x^2-3y^2+2xy-2x+6y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x+3y-3\right)=1\)

Làm nôt

Viết pt trên thành pt bậc 2 đối với x:\(x^2+2x\left(y-1\right)-\left(3y^2-6y+4\right)=0\) (1)

Pt (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(y-1\right)^2+\left(3y^2-6y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-8y+5\ge0\),Ta cần có \(\Delta'=k^2\)

Tức là \(4y^2-8y+5=k^2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2+1=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)^2-k^2=-1\Leftrightarrow\left(2y-2-k\right)\left(2y-2+k\right)=-1\)

Đến đây bí!

<=>\(x^2+2x\left(y-1\right)-3y^2+6y-8=0\)

coi phương trình là phương trình bậc 2 theo ẩn x nên ta có

\(\Delta^'=\left(y-1\right)^2+3y^2-6y+8\)

\(\Delta^'=4y^2-8y+9=\left(2y-4\right)^2-7\)

để phương trình có nghiệm x ,y nguyên thì \(\Delta^'=k^2\)

với k là số tự nhiên

\(\left(2y-4\right)^2-7=k^2\Leftrightarrow\left(2y-4+k\right)\left(2y-4-k\right)=7\)

khi đó (2y-4+k) và (2y-4-k) là ước của 7 là (1,7) do đó ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}2y-4+k=7\\2y-4-k=1\end{cases}}\Leftrightarrow4y=16\Leftrightarrow y=4\)

với y=4 thay vào ta có 

\(\Delta^'=\left(2.4-4\right)^2-7=9\)

\(\orbr{\begin{cases}x=\left(1-y\right)-3=1-4-3=-6\\x=\left(1-y\right)+3=1-4+3=0\end{cases}}\)

vậy (x,y)= (0,4) hoặc (-6,4)