tham khảo câu hỏi này có thể ib để đưa link ạ :V:

Câu hỏi của ngô đăng khoa

Link: https://olm.vn/hoi-dap/detail/5436494442.html

Sửa đề \(\hept{\begin{cases}n^2=a+b\\n^3+2=a^2+b^2\end{cases}}\)

Có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow n^4\le2\left(n^3+2\right)\) hay \(n^3\left(n-2\right)-4\le0\)

Nếu \(n\ge3\)thì \(n^3\left(n-2\right)-4\ge n^3-4>0\left(ktm\right)\Rightarrow n=\left\{0;1;2\right\}\)

Với n=0;1 không có số nguyên a,b thỏa mãn

Với n=2 \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1;b=3\\a=3;b=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy (n,a,b)={(2;1;3);(2;3;1)}

\(a^2+b^2=n^3+2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(n\ge-1\)

Quỳnh xét thiếu n=-1

\(a-b⋮7\Rightarrow a⋮6,b⋮7\)

\(\Rightarrow4a⋮7;3b⋮7\)

\(\Rightarrow4a+3b⋮7\) (đpcm)

Tìm 2 số a,b thôi

Có: a; b là hai số tự nhiên.

Không mất tính tổng quát: g/s: a\(\le\)b

Ta có: a + b = 3 

TH1: a = 0 ; b = 3 => \(a^4+b^4=0+3^4=81\ne17\)loại 

TH2: a = 1; b = 2 => \(a^4+b^4=1^4+2^4=17\)tm 

Vậy a = 1; b = 2 hoặc a = 2; b = 1 

\(X=\left\{1;2;4;5;7\right\}\)

Ta có:

abc - cba = (n² - 1) - (n - 2)²

=> (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = n² - 1 - [(n - 2).n - (n - 2).2]

=> 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = n² - 1 - n² + 2n + 2n - 4

=> 99a - 99c = 4n - 5

=> 99.(a - c) = 4n - 5

=> 4n - 5 chia hết cho 99

Mà 99 < abc < 1000 => 99 < n² - 1 < 1000

=> 100 < n² < 1001

=> 10 < n < 32

=> 35 < 4n - 5 < 123

=> 4n - 5 = 99

=> 4n = 99 + 5 = 104

=> n = 104 : 4 = 26

=> abc = 26² - 1 = 676 - 1 = 675

Vậy số cần tìm là 675

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 

Lưu ý: biểu thức chỉ đúng với n dương

\(thanks\)   bn nhé!!!!!

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 

bài 2 

Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được

\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)

\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)

                                                                       \(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)

\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)

\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)

Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)

*Nếu A = 0 

Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)

Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)

*Nếu A = 1 

\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)

Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0

Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019

Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)

               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)

Thử lại...(tự thử nhé)

Vậy...

Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4

Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3

Mà n là số tự nhiên nên n = 1

2. Chứng minh : Với n là số tự nhiên: 

Ta chứng minh: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)

\(\text{Chứng minh quy nạp}\):

+) Với n=1, n=2 thỏa mãn 

+)Giả sử đúng với n=k  \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_k\)

+) Ta chứng minh đúng vs : \(n=k+1\)

Thật vậy: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2)+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\)

Mặt khác ta có: \(\dfrac {A^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac {(A+a_{k+1})^2}{k+1} \)

\(\Leftrightarrow \left(k+1\right)A^2+k\left(k+1\right)a^2_{k+1}=k\left(A^2+2Aa_{k+1}+a^2_{k+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow A^2+k^2a^2_{k+1}-2kAa_{k+1}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (A-ka_{k+1})^2\geq 0\)  ( luôn đúng)

Do đó: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{k+1})^2}{k+1}\)

Dấu bằng xảy ra  khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_{k+1}\)

Vậy: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)với mọi n là số tự nhiên 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)

\(\text {Quay lại bài Toán của chúng ta}\):

Vậy \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{2019}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)

=> \(2019^3+1\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)

Hay \(2019^4\leq (a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2\leq 2019^4+2019<(2019^2+1)^2\)

Suy ra \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=2019^2\)

Dấu bằng xảy ra  khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=a_3=...=a_n=2019\)