a}Cmr pt \(ax^2+bx+c=0\) a khác 0 có nghiệm nếu \(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4\)
b)Chứng minh rằng nếu \(\overline{abc}\) là số nguyên tố thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 không có
nghiệm hữu tỉ.
''Hãy trao cho anh'' câu trả lời thích đáng nhất
a}Cmr pt \(ax^2+bx+c=0\) a khác 0 có nghiệm nếu \(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4\)
b)Chứng minh rằng nếu \(\overline{abc}\) là số nguyên tố thì phương trình ax^2 + bx + c = 0 không có
nghiệm hữu tỉ.
''Hãy trao cho anh'' câu trả lời thích đáng nhất
Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
BÀI TOÁN PHỤ: CHứng minh rằng số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.
Giải: Xét số chính phương lẻ là \(m^2\left(m\in Z\right)\)
Như vậy m là số lẻ, đặt \(m=2n+1\)
Ta có:
\(m^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4.n.\left(n+1\right)+1\)
Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
\(\Rightarrow4n\left(n+1\right) \) chia hết cho 8
\(\Rightarrow4.n.\left(n+1\right)+1\) chia 8 dư 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Vì a lẻ nên \(a\ne0\), phương trình \(ax^2+bx+c=0\) là phương trình bậc hai.
Xét \(\Delta=b^2-4ac\): b lẻ, theo bài toán phụ có \(b^2=8k+1\left(k\in Z\right)\)
a,c lẻ \(\Rightarrow\) \(ac\) lẻ
Đặt \(ac=2l-1\left(l\in Z\right)\)
Do đó \(\Delta=b^2-4ac=8k+1-4.\left(2l-1\right)=8k+1-8l+4=8\left(k-l\right)+5 \)chia cho 8 dư 5, theo bài toán phụ trên ta có \(\Delta\) không phải số chính phương.
\(\Delta\) là số nguyên, không phải óố chính phương \(\Rightarrow\sqrt{\Delta}\) là số vô tỉ
Nghiệm của phương trình đã cho (nếu có) là: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
b,a\(\in Z\), \(\sqrt{\Delta}\) vô tỉ nên x là vô tỉ.
Vậy phương trình có nghiệm nếu có thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
ơng là phươngax2+bx+c=0
Bài này có sự liên quan giữa các số lẻ a;b;c không? ( không = khó )
ax^2 +bx +c = 0 (*)
(*) có nghiệm hữa tỷ <=> Δ = b^2 - 4ac là số chính phương lẻ
(vì 4ac chẵn và b lẻ)
Δ là số chính phương lẻ nên Δ chia 8 dư 1 (*)
với a, b , c là số nguyên lẻ nên có dạng:
a = 2m + 1; b = 2n +1; c = 2p + 1 ( m,n,p là số nguyên)
=> Δ = (2n +1)^2 - 4(2m+1)(2p+1)
= 4n^2 + 4n + 1 - 4(4mp + 2m + 2p + 1)
= 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 3 = 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 + 5
vì 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 chia hết cho 8 => Δ chia 8 dư 5 mâu thuẩn với (*)
=> đpcm.
-------------------------
chứng minh (*):
A = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
k(k + 1) là tích 2 số nguyên liêu tiếp chia hết cho 2
=> 4k(k + 1) chia hết cho 8
=> A chia 8 dư 1
Cho p= abc (có gạch trên đầu) là một số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình ax^2+ bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ
Ta có:Δ=b2−4acΔ=b2−4ac
Xét Δ≥0Δ≥0
giả sử pt đó có nghiệm hữu tỉ nên Δ=x2Δ=x2
Suy ra (b+x)(b−x)=4ac(b+x)(b−x)=4ac
Vì b,x cùng tính chẵn lẽ nên b+x chẵn;b-x chẵn
Ta xét các TH sau:
{b+x=ab−x=4c{b+x=ab−x=4c
mà b+x≥b−x⇒a≥4cb+x≥b−x⇒a≥4c nên c=1 (vì c lẻ )
Thay c=1 vào ta đc: {b=a2+2x=a2−2{b=a2+2x=a2−2
Thế vào ta tìm đc a=0(vô lý)
Xét {b+x=2acb−x=2{b+x=2acb−x=2
tương tự ta cũng có: 2ac≥2⇒ac≥1⇒a=1;c=12ac≥2⇒ac≥1⇒a=1;c=1
tính đc b=2 khi đó ¯¯¯¯¯¯¯¯abc=121=112abc¯=121=112 ko phải là số nguyên tố
Xét {b+x=2ab−x=2c{b+x=2ab−x=2c
Ta chứng minh đc a>c
Suy ra b=a+c
khi đó ¯¯¯¯¯¯¯¯abc=110a+11c⋮11abc¯=110a+11c⋮11 ko phải là số nguyên tố.
Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm
CMR: Nếu a,b,c là các số nguyên lẻ thì phương trình : ax2 + bx + c = 0 không thể có nghiệm là số hữu tỷ
Giả sử rằng \(r=\frac{p}{q}\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình, trong đó \(p,q\) là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau (tức phân số \(\frac{p}{q}\) tối giản).
Ta có ngay \(ap^2+bpq+q^2c=0\to4a^2p^2+4abpq+4acq^2=0\to\left(2ap+bq\right)^2=\left(bq\right)^2-4acq^2\)
Nếu q là số chẵn thì \(ap^2\) là số chẵn và do đó p chẵn, mâu thuẫn với tính nguyên tố cùng nhau.
Nếu q là số lẻ thì \(bq,2ap+bq\) là các số lẻ. Mặt khác một số chính phương lẻ luôn chia 8 dư 1 nên ta
suy ra \(\left(2ap+bq\right)^2-\left(bq\right)^2\vdots8.\) Do đó \(4acpq\vdots8\to acpq\vdots2\to p\vdots2\). Từ phương trình đầu suy ra \(cq^2\vdots2\to q\vdots2\), vô lí.
Cách khác:
Đặt \(a=2p+1;b=2q+1;c=2r+1\left(p,q,r\in Z\right)\)
Giả sử phương trình \(ax^2+bx+c=0\) không có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta=b^2-4ac\) phải là số chính phương
Ta có:\(\Delta=\left(2q+1\right)^2-4\left(2r+1\right)\left(2p+1\right)\)
\(=4q^2+4q+1-\left(8r-4\right)\left(2p+1\right)\)
\(=4q^2+4q+1-\left(16pr+8r-8p-4\right)\)
\(=4q^2+4q-16pr+8r-8p+5\)
\(=8\left[\frac{q\left(q+1\right)}{2}-2pr+r-p\right]+5\equiv5\left(mod8\right)\)
vô lý vì số chính phương lẻ không thể chia 8 dư 5
=> đpcm
Cho phương trình ax2+bx+c=0 và a,b,c là các số nguyên lẻ. Chúng minh rằng nếu phương trình đó có nghiệm thì ngiệm đó không thể là số nguyên
cho phương trình ax\(^2\) + bx + c = 0 (a , b, c là các hệ số , a> 0 ) . chứng minh rằng nếu b > a + c thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
nếu b > a+c
<=> \(b^2>\left(a+c\right)^2\\
\Leftrightarrow b^2-4ac>a^2+2ac+c^2-4ac\\
\Leftrightarrow\Delta>\left(a-c\right)^2\ge0\)
=> đpcm
Chứng minh rằng nếu số abc là số nguyên tố thù pt sau không có nghiệm hữu tỉ ax^2 + bx + c = 0
Ta có:$\Delta =b^{2}-4ac$
Xét $\Delta \geq 0$
Giả sử pt đó có nghiệm hữu tỉ nên $\Delta =x^{2}$
Suy ra $(b+x)(b-x)=4ac$
Vì b,x cùng tính chẵn lẽ nên b+x chẵn;b-x chẵn
Ta xét các TH sau:
$\left\{\begin{matrix} b+x=a\\b-x=4c \end{matrix}\right.$
Mà $b+x\geq b-x\Rightarrow a\geq 4c$ nên c=1 (vì c lẻ )
Thay c=1 vào ta đc: $\left\{\begin{matrix} b=\frac{a}{2}+2\\ x=\frac{a}{2}-2 \end{matrix}\right.$
Thế vào ta tìm đc a=0(vô lý)
Xét $\left\{\begin{matrix} b+x=2ac\\b-x=2 \end{matrix}\right.$
Tương tự ta cũng có: $2ac\geq 2\Rightarrow ac\geq 1\Rightarrow a=1;c=1$
Tính được b=2 khi đó $\overline{abc}=121=11^{2}$ ko phải là số nguyên tố
Xét $\left\{\begin{matrix} b+x=2a\\b-x=2c \end{matrix}\right.$
Ta chứng minh đc a>c
Suy ra b=a+c
Khi đó $\overline{abc}=110a+11c\vdots 11$ ko phải là số nguyên tố.
Vậy điều giả sử sai nên ta có đpcm
Cho đa thức P(x)= ax^2 +bx+c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên khác 0.Chứng minh rằng nếu đa thức có 1 nghiệm là số nguyên khác 0 thì nghiệm đó là ước của c.
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0, (a, b, c là các hệ số và a >0).
Chứng minh rằng nếu b > a + c thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Nếu \(b>a+c\)tương đương với \(b^2>a^2+2ac+c^2\)
Trừ cả 2 vế cho 4ac ta được : \(b^2-4ac>a^2-2ac+c^2=\left(a-c\right)^2\)
Hay \(\Delta>\left(a-c\right)^2\ge0\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
b > a + c thì chưa đủ điều kiện chứng minh b^2 > (a + c)^2 mà?
bình phương 2 vế nhé bạn