Từ M kẻ đường song song với AN cắt BC tại K.Gọi I là giao điểm của MN với BC

Ta có: tam giác ABC cân tại Á nên góc B=góc C. Mà MK//AN => góc MKB =góc ABC => góc MKB=góc B=> MB=MK=CN

=> 180độ - góc MKB=180 độ - góc B=> góc MKI=góc ICN

MÀ góc KMN=góc INA (so le trong).

Vậy tam giác MKI bằng tam giác NIC(g.c.g)=>MI=NI(cạnh tương ứng)

=> I là trung điểm của MN

=>đpcm

Mình xét mỗi trường hợp như hình vẽ mà thôi, còn nếu điểm M nằm ngoài đoạn AB thì cũng tương tự nha

Vẽ MH,NK cùng vuông góc với BC

Ta dễ thấy MB=NC

Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNK\)có \(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}=90;BM=CN\)\(;\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\)(vì cùng bằng với\(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\Delta BMH=\Delta CNK\left(CH.GN\right)\Rightarrow MH=NK\)

Xét \(\Delta MHI\)và \(\Delta NKI\)có \(\widehat{HMI}=\widehat{KNI}\)(2 góc so le trong và HM song song với KN);

\(HM=KN;\widehat{MHI}=\widehat{NKI}=90\)

\(\Rightarrow\Delta MHI=\Delta NKI\left(G.C.G\right)\Rightarrow MI=NI\)

Vậy I là trung điểm MN mà I là giao điểm của MN và BC nên ta có điều phải chứng minh

P/s: Có ai biết chèn hình vô phần trả lời không, chứ vẽ trên đây khó kinh

DO NOT KNOW

Bài 1 :

Xét tam giác ABC và ADE có :

           góc EAD = góc CAB (đối đỉnh)

           CA=EA (gt)

            BA=DA (gt)

suy ra tam giác ABC=ADE (c.g.c)

suy ra :DE =BC ( 2 cạnh tương ứng ) ; góc E= góc C ; góc D = góc B (các góc tương ứng )

        Mà M; N lần lượt là trung điểm của DE và BC suy ra EN=DN=BM=CM

Xét tam giác ENA và CMA có:

         EN = CM ( cmt)

         góc E = góc C (cmt)

         AE = AC (gt)

suy ra tam giác EAN = CMA (c.g.c) suy ra AM =AN ( 2 cạnh tương ứng ) 

Xét tam giác NDA và MBA có:

            góc D= góc B (cmt)

            ND = MB (cmt )

            DA = BA (cmt )

suy ra tam giác NDA = MBA (c.g.c)suy ra  góc NAD =  góc MAB

   Ta có góc DAC +MAC+MAB = 180 độ ( vì D nằm trên tia đối của tia AB )

   Mà góc NAD = góc MAB suy ra góc DAC+MAC+NAD =180 độ

suy ra 3 điểm M,A,N thẳng hàng          (2)

                   Từ (1) và (2 ) suy ra A là trung điểm của MN

( mình vẽ hình hơi xấu , mong bạn thông cảm . Nếu đúng nhớ kết bạn với mình nhé , mong tin bạn ^-^)

Bài 3: 

Xét ΔHMB vuông tại H và ΔKMC vuông tại K có

MB=MC

\(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\)

Do đo: ΔHMB=ΔKMC

Suy ra: BH=CK