Tham khảo: Câu hỏi của Đậu Đình Kiên

\(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(vì \(a,b,c\ne0\)) 

Ta có hằng đẳng thức:  \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

nên \(x+y+z=0\)thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=3\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

<=>\(ab+bc+ca=0\)

<=>\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)

<=> \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)

<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

<=>\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=-\frac{1}{c}^3\)

<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{b^3}=\frac{-1}{c}^3\)

<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Ta có: \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{3abc}{abc}=3\)

Có a + b + c = 0

=> a + b = - c

=> (a + b)² = c²

=> a² + b² + 2ab = c²

=> a² + b² - c² = - 2ab

Tương tự, b² + c² - a² = - 2bc và c² + a² - b² = - 2ca

Do đó \(A=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

a+b+c=0=>a+b=-c=>a²+b²+2ab=c²=>a²+b²-c²=-2ab

Tương tự b²+c²-a²=-2bc,c²+a²-b²=-2ac

=>\(A=\frac{-ab}{2ab}+\frac{-bc}{2bc}+\frac{-ca}{2ca}=\frac{-3}{2}\)

Tham khảo ở đây bạn nhé :

https://olm.vn/hoi-dap/detail/97677187025.html

~ Study well ~

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

Cho o dong 2 la x,y,z nhe,ghi nham

Tham khảo: Câu hỏi của Nguyễn Thị Nhàn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Học tốt=)

tth : mẫu nó khác bạn nhé
- mẫu nó là 2bc 2ac 2ab
mẫu mk ko có nhân 2

Ukm,mình không để ý.Sorry bn