Cho các mệnh đề :

1) Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x 0  thì nó liến tục tại  x 0 . 

2) Hàm số y=f(x) liên tục tại  x 0  thì nó có đạo hàm tại điểm  x 0 .

3) Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).

4) Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a;b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Số mệnh đề đúng là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

 Cho hàm số $f:\left[a;b\right]\to \left[a;b\right]$ liên tục trên $\left[a,b\right]$ với $a<b$ thỏa mãn $\left|f\left(\alpha \right)-f\left(\beta \right)\right|<\left|\alpha -\beta \right|$, $\forall \alpha ,\beta \in \left[a;b\right]$ phân biệt. Chứng minh rằng $\exists !\gamma \in \left[a;b\right]:f\left(\gamma \right)=\gamma$

 (Ở đây kí hiệu $\exists !$ nghĩa là tồn tại duy nhất)

Cho các mệnh đề:

1. Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên a ; b và f a . f b < 0 thì tồn tại x 0 ∈ a ; b sao cho  f x 0 = 0.

2. Nếu hàm số y = f x  liên tục trên a ; b  và f a . f b < 0  thì phương trình f x = 0  có nghiệm.

3. Nếu hàm số y=f(x) liên tục, đơn điệu trên a ; b và f a . f b < 0 thì phương trình  f x = 0  có nghiệm duy nhất trên ( a ; b ) .

Trong ba mệnh đề trên

A. Có đúng hai mệnh đề sai

B. Cả ba mệnh đề đều đúng

C. Cả ba mệnh đề đều sai

D. Có đúng một mệnh đề sai

Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn f ( x ) . f ( a - x )   =   1 f ( x ) > 0 ;   ∀ x ∈ [ 0 ; a ]  và ∫ 0 a d x 1 + f ( x )   =   b a c , trong đó b, c là hai số nguyên dương và b/c là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (11;22)

B. (0;9)

C. (7;21)

D. (2017;2020)

Cho các phát biểu sau:

I. Đồ thị hàm số có y = x⁴ – x + 2 có trục đối xứng là Oy.

II. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a;b) đạt cực trị tại điểm x₀ thuộc khoảng (a;b) thì tiếp tuyến tại điểm M(x₀,f(x₀)) song song với trục hoành.

III. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

IV. Hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và đạt cực tiểu tại điểm x₀ thuộc khoảng (a;b) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (a;x₀) và đồng biến trên khoảng (x₀;b).

Các phát biểu đúng là:

A. II,III,IV

B. I,II,III

C. III,IV

D. I,III,IV

Cho hàm số y= f(x)  xác định và liên tục trên [ a; e] và có đồ thị hàm số y= f’ (x)  như hình vẽ bên. Biết rằng f(a) + f( c)) = f( b) + f( d)   .  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f( x)  trên [ a; e]?

A.  m a x [ a , e ]   f ( x ) = f ( c ) m i n [ a , e ]   f ( x ) = f ( a )

B.  m a x [ a , e ]   f ( x ) = f ( a ) m i n [ a , e ]   f ( x ) = f ( b )

C.  m a x [ a , e ]   f ( x ) = f ( e ) m i n [ a , e ]   f ( x ) = f ( b )

D.  m a x [ a , e ]   f ( x ) = f ( d ) m i n [ a , e ]   f ( x ) = f ( b )