Gọi O là một điểm nằm trong tam giác ABC các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, AC, AB thứ tự tại M, N, K chứng minh rằng:
1, OA/AM+OB/BN+OC/CK=2
2, OA/OM+OB/ON+OC/OK>=6
3, OA.OB.OC>=8.OM.ON.OK
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. chứng minh OA/OP*OB/OQ*OC/OR>=8
Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:sqrt{frac{OA}{OM}}+sqrt{frac{OB}{ON}}+sqrt{frac{OC}{OP}}ge3sqrt{2}sqrt{frac{AM}{OA}}+sqrt{frac{BN}{OB}}+sqrt{frac{CP}{OC}}gefrac{3sqrt{6}}{2}sqrt{frac{OM}{AM}}+sqrt{frac{ON}{BN}}+sqrt{frac{OP}{CP}}gesqrt{3}Đã chứng minh:frac{AM}{OM}+frac{BN}{ON}+frac{CP}{OP}ge9frac{OA}{AM}+frac{OB}{ON}+frac{OC}{OP}ge6frac{AM}{OA}+frac{BN}{OB}+frac{CP}{OC}gefrac{9}{2}frac{OM}{OA}+frac{ON}{OB}+frac{OP}{OC}gefrac{...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{\frac{AM}{OA}}+\sqrt{\frac{BN}{OB}}+\sqrt{\frac{CP}{OC}}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{OP}{CP}}\ge\sqrt{3}\)
Đã chứng minh:
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\)
\(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{ON}+\frac{OC}{OP}\ge6\)
\(\frac{AM}{OA}+\frac{BN}{OB}+\frac{CP}{OC}\ge\frac{9}{2}\)
\(\frac{OM}{OA}+\frac{ON}{OB}+\frac{OP}{OC}\ge\frac{3}{2}\)
( bài toán cực trị trong hình học).
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Lấy một điểm O trong tam giác ABC. Các tia OA,OB,OC cắt BC,AC,AB lần lượt ở M,N,P chứng minh:
OA/AM+OB/BN+OC/CP=2
Cho tam giác ABC có O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tại M, N, P. Cmr:\(\frac{AM}{OA}.\frac{BN}{OB}.\frac{CP}{OC}\ge\frac{27}{8}\)
cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng trong ba tỉ số OA/OM ; OB/ON; OC/OP có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 2 và ít nhất một tỉ số không lớn hơn 2. ( bài toán cực trị trong hình học)
Trước hết ta chứng minh \(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{BN}+\frac{OC}{CP}=1\)
Thậy vậy \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{ON}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=1\)
Đặt \(\frac{OM}{AM}=x;\frac{ON}{BN}=y;\frac{OP}{CP}=z\Rightarrow x+y+z=1.\)
Khi đó \(a=\frac{OA}{OM}=\frac{AM-OM}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\)
Tương tự \(\frac{OB}{ON}=b\Rightarrow y=\frac{1}{b+1};\frac{OC}{OP}=c\Rightarrow z=\frac{1}{c+1};\)
Vậy thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1.\)
Nếu cả a, b, c đều nhỏ hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không nhỏ hơn 2.
Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không lớn hơn 2.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC ,O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại D,E,F. Chứng minh rằng:
\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{BF}=2\)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, Bo, Co cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R.
Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác, tia BO cắt cạnh AC tại I. a) So sánh OA và IA + IO, từ đó suy ra OA + OB < IA + IB; b) Chứng minh: OA + OB < CA + CB; c) Chứng minh: (AB+AC+BC) /2 < OA + OB + OC < AB + BC + CA
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các Tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}\times\frac{OB}{OQ}\times\frac{OC}{OR}\ge8\)