Đường link : Câu hỏi của Hà Lê - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có : a⁴ + b⁴ \(\ge\)2a²b² ; b⁴ + c⁴ \(\ge\)2b²c² ; a⁴ + c⁴ \(\ge\)2a²c²

\(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\)a²b² + b²c² + a²c² ( 1 )

Lại có : a²b² + b²c² \(\ge\)2b²ac ; b²c² + a²c² \(\ge\)2c²ab ; a²b² + a²c² \(\ge\)2a²bc

\(\Rightarrow\)a²b² + b²c² + a²c² \(\ge\)abc ( a + b + c ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)a⁴ + b⁴ + c⁴ \(\ge\) abc ( a + b + c ) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

Tương tự , b⁴ + c⁴ + d⁴ ​​​\(\ge\)​bcd ( b + c + d ) ; a⁴ + b⁴ + d⁴ ​\(\ge\)​abd ( a + b + d ) ; c⁴ + d⁴ + a⁴ ​\(\ge\)​acd ( a + c + d ) 

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\); \(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

Cộng từng vế theo vế , ta được : 

A \(\le\)1  ( đặt A = biểu thức ấy nhé )

Vậy GTLN A = 1 \(\Leftrightarrow\)a = b = c = d = 1

Ta chứng minh bất đẳng thức sau  

Với x, y, z > 0 ta luôn có  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)  (1)

Theo BĐT Cô-si

\(x^4+x^4+y^4+z^4\ge4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4x^2yz\)

\(y^4+y^4+z^4+x^4\ge4\sqrt[4]{y^8z^4x^4}=4y^2zx\)

\(z^4+z^4+x^4+y^4\ge4\sqrt[4]{z^8x^4y^4}=4z^2xy\)

Cộng vế theo vế ta được:  \(4\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge4\left(x^2yz+y^2zx+z^2xy\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy (1) đc c/m

Bất đẳng thức cần c/m có thể viết lại thành

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le1\)

Áp dụng (1) ta có  

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{abcd}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

Tương tự  

\(\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

Cộng theo vế suy ra đpcm.

Theo BĐT AM-GM: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

Tương tự suy ra \(a^4+b^4+c^4\)\(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Tiếp tục dùng AM-GM: \(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2ab^2c\)

Tương tự suy ra \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abcd\ge abc\left(a+b+c\right)+abcd\)\(=abc\left(a+b+c+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c+d\right)}\)

Tương tự cho 3 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{a+b+c+d}{abcd\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{abcd}=VP\)

sorry nha!Mik ko bít làm.???

ngu nguoi

ngu nguoi

Hon ca su quan tam: quan tâm thế mà cũng đòi lấu nick là quan tâm

giỏi thì làm đừng ở đó mà phỉ báng người khác

Đồ Hèn TA KHINH!!!!!!!!!!!!!!

Ta có: abcd=1 và a+b+c+d=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\)

Do đó: a+b-\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+c+d-\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1-\frac{1}{ab}\right)+\left(c+d\right)\left(1-\frac{1}{cd}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(ab-1\right)}{ab}+\left(c+d\right)\left(1-ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-c-d\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a+b-abc-abd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(1-ad\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(abcd-ad\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(a-abd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)

<=> ab-1=0 hoặc 1-bc=0 hoặc 1-bd=0

<=> ab=1 hoặc bc=1 hoặc bd=1

\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)

giỏi thì làm bài nÀY nèk

chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math

Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ

đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh

bạn hiểu nhầm rồi mình bảo mấy cái thằng nó cứ đăng vớ vẩn nên bảo cái bọn đấy làm bài này của bạn đó mà