Ta có :

\(x^2+y^2+z^2=1\)

Thay vào biểu thức thứ 2 :

\(x^2+y^2-2xy+2yz-2zx+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y+z\right)^2+x\left(x-2z\right)=0\)

Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0\)

=> Để biểu thức bằng 0 : \(x\left(x-2z\right)=0;\left(x-y\right)=0;\left(y+z\right)=0\)

Xảy ra hai trường hợp :

TH1 :

x = 0

x - y = 0

y + z =0

=> x = y = z = 0 ( loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 0 ) (1)

TH2

x- 2z = 0

x - y = 0

y +z = 0

Trừ x - 2z - x + y =0 => - 2z + y = 0 (2 )

y +z = 0 (3)

Giai hệ (2) ,(3) có : y =z = 0 => x = 0 (loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 1 )(4)

Từ (1) , (4) :

=> Phương trình vô nghiệm .

P/s : đừng ném gạch nha

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\left(1\right)\\x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thay \(1=x^2+y^2+z^2\)vào phương trình (2):

\(2x^2+2y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2+x^2+y^2=0\)

mà \(\left(x-y-z\right)^2;x^2;y^2\)không âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-z=0\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)(mâu thuẫn với (1))

Vậy HPT vô nghiệm

Vì x² + y² + z² = 1

Thay x² + y² + z² vào phương trình thứ 2 ta được :

x² + y² - 2xy +2yz - 2zx + x² + y² + z² = 0

\(\Leftrightarrow\) x² + y² + ( x² + y² + z² - 2xy + 2yz - 2zx ) = 0

\(\Leftrightarrow\) x² + y² + ( y - x + z)² = 0

Ta có : x² \(\ge\)0 ; y² \(\ge\) 0 ; ( y \(-\)x \(+\) z )² \(\ge\) 0 (\(\forall\)x;y;z \(\in\) R )

Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = z = 0

Mà x² + y² + z² = 1 => Mâu thuẫn

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Tham khảo

{x + y + z = 2
{2xy - z^2 = 4
<=> {z=2-y-x
       {z^2=2xy-4
<=>{z^2=4+y^2+x^2-4y+2xy-4x
      {z^2=2xy-4
=> 4+y^2+x^2-4y+2xy-4x=2xy-4
<=>8+y^2+x^2-4y-4x=0
<=> (x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)=0
<=>(x-2)^2+(y-2)^2=0
<=>{(x-2)^2=0
      {(y-2)^2=0
<=>{ x=2
       {y=2
=>z=2-2-2=-2
vậy x=2,y=2,z=-2

Lấy pt 2 trừ 2 lần pt 1:

\(3x^2-4y^3=3y^3-4x^2+7\Leftrightarrow y^3=x^2-1\)

Lấy pt 2 trừ 2 lần pt 3:

\(x^2-2y^2-4xy=3y^3+2z^2+7-4xz-4yz-4\)

\(\Leftrightarrow x^2-2y^2-4xy=3\left(x^2-1\right)+2z^2+7-4xz-4yz-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=z\)

Hy vọng nó giúp được bạn

Akai Haruma giúp em bày này với ạ

@Nguyễn Việt Lâm em giải mãi ko ra nên đành nhờ anh giúp vậy

Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:

$x^3=x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$

pt sau của bạn bị thiếu thì phải

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)

Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)

\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)