Giải:
a) Xét ΔABD và ΔEBD có :

AB=BE(gt)

B1ˆ=B2ˆ(=12Bˆ)

BD: cạnh chung

⇒ΔABD=ΔEBD(c−g−c)

⇒DA=DE ( cạnh tương ứng )

Vậy DA=DE

b) Vì ΔABD=ΔEBD

⇒ góc A= góc BED

Mà  góc A=90⁰⇒ góc BED=90⁰

Vậy góc BED =90⁰

c) VÌ ΔABD=ΔEBD ( cmt)

=> góc ABD = góc EBD( 2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta ABIv\text{à}\Delta EBI\)có:

  AB = EB

góc ABD = góc EBD

BI cạnh chung 

=>\(\Delta ABI=\text{ }\Delta EBI\)

=> góc AIB = góc EIB và IA = IE          (1)

Mà góc AIB + góc EIB =180 ⁰

=> \(\hept{\begin{cases}g\text{ócAIB=90^0}\\g\text{óc EIB=90^0}\end{cases}}\)(2)

Từ (1),(2) => BI là đường trung trực của AE

Mà I \(\in\)BD

=> BD là đường trung trực của AE

Vậy BD là đường trung trực của AE

Bài làm

a) Xét tam ABC vuông tại A có:

\(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)( hai góc phụ nhau )

hay \(\widehat{ACB}+60^0=90^0\)

=> \(\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

b) Xét tam giác ABE và tam giác DBE có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{BDE}=90^0\)

Cạnh huyền: BE chung

Cạnh góc vuông: AB = BD ( gt )

=> Tam giác ABE = tam giác DBE ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)( hai góc tương ứng )

=> BI là tia phân giác của góc BAC

Mà I thược BE

=> BE là tia phân giác của góc BAC

Gọi I là giao điểm BE và AD

Xét tam giác AIB và tam giác DIB có:

AB = BD ( gt )

\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)( cmt )

BI chung

=> Tam giác AIB = tam giác DIB ( c.g.c )

=> AI = ID                                                                 ^₍₁₎ 

=> \(\widehat{BIA}=\widehat{BID}\)

Ta có: \(\widehat{BIA}+\widehat{BID}=180^0\)( hai góc kề bù )

Hay \(\widehat{BIA}=\widehat{BID}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=> BI vuông góc với AD tại I                                                       ^₍₂₎ 

Từ (1) và (2) => BI là đường trung trực của đoạn AD

Mà I thược BE

=> BE là đường trung trực của đoạn AD ( đpcm )

c) Vì tam giác ABE = tam giác DBE ( cmt )

=> AE = ED ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác AEF và tam giác DEC có:

\(\widehat{EAF}=\widehat{EDC}=90^0\)

AE = ED ( cmt )

\(\widehat{AEF}=\widehat{DEF}\)( hai góc đối )

=> Tam giác AEF = tam giác DEC ( g.c.g )

=> AF = DC 

Ta có: AF + AB = BF

          DC + BD = BC

Mà AF = DC ( cmt )

AB = BD ( gt )

=> BF = BC 

=> Tam giác BFC cân tại B

=> \(\widehat{BFC}=\widehat{BCF}=\frac{180^0-\widehat{FBC}}{2}\)                                                          ^₍₃₎ 

Vì tam giác BAD cân tại B ( cmt )

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=\frac{180^0-\widehat{FBC}}{2}\)                                               ^₍₄₎

Từ (3) và (4) => \(\widehat{BAD}=\widehat{BFC}\)

Mà Hai góc này ở vị trí đồng vị

=> AD // FC

d) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)( hai góc phụ nhau )                              (5)

Xét tam giác DEC vuông tại D có:

\(\widehat{DEC}+\widehat{ACB}=90^0\)( hai góc phụ nhau )                                (6)

Từ (5) và (6) => \(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\)

Ta lại có:

\(\widehat{ABC}>\widehat{EBC}\)

=> AC > EC

Mà \(\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\)

=> EC = 1/2 AC. 

=> E là trung điểm AC

Mà EC = EF ( do tam giác AEF = tam giác EDC )

=> EF = 1/2AC 

=> AE = EC = EF 

Và AE = ED ( cmt )

=> ED = EC

Mà EC = 1/2AC ( cmt )

=> ED = 1/2AC

=> 2ED = AC ( đpcm )

Mình chứng minh ra kiểu này cơ. không biết đề đúng hay sai!?? 

a) Xét ΔABD và ΔEBD có 

BA=BE(gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔEBD(c-g-c)

Suy ra: DA=DE(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(gt)

nên \(\widehat{BED}=90^0\)

hay DE⊥BC

Ta có: DA=DE(cmt)

mà DE<DC(ΔDEC vuông tại E có DC là cạnh huyền)

nên DA<DC

b) Ta có: ΔBAC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(1)

Ta có: ΔEDC vuông tại E(cmt)

nên \(\widehat{EDC}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\)(đpcm)

c) Ta có: BA=BE(gt)

nên B nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: DA=DE(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra BD là đường trung trực của AE

hay BD\(\perp\)AE(đpcm)