Xét hai pt: \(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)

\(x^2+cx+d=0\) có \(\Delta_2=c^2-4d\)

Ta có:

\(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)

TH1: nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)>0\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) dương hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm

TH1: \(b+d>0\Rightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow-4\left(b+d\right)\ge-2ac\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm

Vậy pt đã cho luôn có nghiệm

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Ngo Hiệu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Do \(x^2+2mx+n=0\) có nghiệm \(\Rightarrow m^2-n\ge0\)

Xét pt: \(x^2+2\left(k+\dfrac{1}{k}\right)mx+n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=0\)

\(\Delta'=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2m^2-n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2\left(m^2-n\right)\ge0\) với mọi k

\(\Rightarrow\)Pt đã cho có nghiệm

em đọc ko hiểu gì hết

anh phương ơi dù em ko bt kiến thức lớp 9 nhưng anh k em 1 phát em có 1 sp thôi

b/ \(\hept{\begin{cases}x^2+px+1=0\\x^2+qx+1=0\end{cases}}\)

Theo vi et ta có

\(\hept{\begin{cases}a+b=-p\\ab=1\end{cases}}\) và  \(\hept{\begin{cases}c+d=-q\\cd=1\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\)

\(=\left(c^2-c\left(a+b\right)+ab\right)\left(d^2-d\left(a+b\right)+ab\right)\)

\(=\left(c^2+cp+1\right)\left(d^2+dp+1\right)\)

\(=cdp^2+pcd\left(c+d\right)+p\left(c+d\right)+c^2d^2+\left(c+d\right)^2-2cd+1\)

\(=p^2-pq-pq+1+q^2-2+1\)

\(=p^2-2pq+q^2=\left(p-q\right)^2\)

a/ \(\hept{\begin{cases}x^2+2mx+mn-1=0\left(1\right)\\x^2-2nx+m+n=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\Delta'_1+\Delta'_2=\left(m^2-mn+1\right)+\left(n^2-m-n\right)\)

\(=m^2+n^2-mn-m-n+1\)

\(=\left(\frac{m^2}{2}-mn+\frac{n^2}{2}\right)+\left(\frac{m^2}{2}-m+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{n^2}{2}-n+\frac{1}{2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\left(m-n\right)^2+\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\right)\ge0\)

Vậy có 1 trong 2 phương trình có nghiệm

Cảm ơn Alibaba Nguyen nhiu nha

a. Với \(m=1;n=\sqrt{2}\)thay vào phương trình ta có 

\(x^2+\left(\sqrt{2}+1\right)x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x\left(x+\sqrt{2}\right)+\left(x+\sqrt{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Vậy với \(m=1;n=\sqrt{2}\)thì phương trình có 2 nghiệm \(x=-1;x=-\sqrt{2}\)

b. Ta có \(\Delta=\left(mn+1\right)^2-4mn=m^2n^2+2mn+1-4mn=m^2n^2-2mn+1\)

\(=\left(mn-1\right)^2>0\forall m,n\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m;n