Question

Gọi \(a,b,c,d\) là các số thực thỏa mãn: \(b+d\ne0\) và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\)

Chứng minh phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm

Answer 1

Xét hai pt: \(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)

\(x^2+cx+d=0\) có \(\Delta_2=c^2-4d\)

Ta có:

\(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)

TH1: nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)>0\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) dương hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm

TH1: \(b+d>0\Rightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow-4\left(b+d\right)\ge-2ac\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm

Vậy pt đã cho luôn có nghiệm