Chứng minh AB=AC; DB=DM và EC=EM.

Chu vi

= AD + DM + ME + AE

= AD + DB + EC + AE

= AB + AC

 = 2AB.

Ta có AB = AC; DB = DM;
EC = EM.
Chu vi Δ ADE:
AD +AE +DE = AD +DM + AE + EM
=AD + DB + AE + EC = AB + AC = 2AB

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

    DM = DB, EM = EC, AB = AC

Chu vi ΔADE:

    CΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)

Chứng minh AB=AC; DB=DM và EC=EM.

Chu vi

= AD + DM + ME + AE

= AD + DB + EC + AE

= AB + AC + 2AB.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

    DM = DB, EM = EC, AB = AC

Chu vi ΔADE:

    CΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)

a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> ABOˆABO^=900=900

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>ACOˆACO^ =900=900

Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO

⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC

⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)

⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)

⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

⇒PB=PK⇒PB=PK

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

⇒KQ=QC⇒KQ=QC

Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ

⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)

⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC

Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO

⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2

⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24

⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)

⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ

Áp dụng bđt Côshi ta có:

2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ

⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).

_

 Ta có

DB=DM; EC=EM; AB=AC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến các tiếp điểm = nhau)

\(C_{ADE}=AD+DM+AE+EM=AD+DB+AE+EC=\)

\(=AB+AC=2AB\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $DM=DB,EM=EC$.

Chu vi tam giác $ADE$ bằng :

$AD+DE+AE=AD+DM+ME+EA$

$=AD+DB+EC+AE$

$=AB+AC=2.AB$ .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $DM=DB,EM=EC$.

Chu vi tam giác $ADE$ bằng :

$AD+DE+AE=AD+DM+ME+EA$

$=AD+DB+EC+AE$

$=AB+AC=2.AB$ .

Chú ý MD = BD và ME = CE