1. cho 2 số dương x , y thỏa mãn x2 + y2 = 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của A = \(\frac{-2xy}{1+xy}\)
Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn log 2 x 2 + y 2 3 xy + x 2 + 2 log 2 x 2 + 2 y 2 + 1 ≤ log 2 8 xy .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x 2 - xy + 2 y 2 2 xy - y 2 .
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( x y + 2 ) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 )
A. - 25 4
B. 5
C. -13
D. - 23 4
Đáp án D
Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( 2 + x y ) ⇔ 2 ( x + y ) 2 - ( 2 + x y ) ( x + y ) - 3 x y = 0 (*)
Đặt x + y = u x y = v ta đc PT bậc II: 2 u 2 - ( v + 2 ) u - 3 = 0 gải ra ta được u = v + 2 + v 2 + 28 v + 4 4
Ta có P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 ) = 4 ( x y + y x ) 3 - 9 ( x y + y x ) 2 - 12 ( x y + y x ) + 18 , đặt t = ( x y + y x ) , ( t ≥ 2 ) ⇒ P = 4 t 3 - 9 t 2 - 12 t + 18 ; P ' = 6 ( 2 t 2 - 3 t + 2 ) ≥ 0 với ∀ t ≥ 2 ⇒ M i n P = P ( t 0 ) trong đó t 0 = m i n t = m i n ( x y + y x ) với x,y thỏa mãn điều kiện (*).
Ta có :
t = ( x y + y x ) = ( x + y ) 2 x y - 2 = u 2 v - 2 = ( v + 2 + v 2 + 28 v + 4 ) 2 16 v - 2 = 1 16 ( v + 2 v + v + 4 v + 28 ) 2 - 2 ≥ 1 16 ( 2 2 + 32 ) 2 - 2 = 5 2
Vậy m i n P = P ( 5 2 ) = 4 . ( 5 2 ) 2 - 9 ( 5 2 ) 2 - 12 . 5 2 + 18 = - 23 4
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) ≤ 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
cho x và y là 2 số nguyên dương thỏa mãn x+y = 2
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\frac{2}{x2+y2}+\frac{3}{xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo và bất đẳng thức \(\frac{1}{4ab}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)ta có :
\(Q=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}+\frac{4}{2xy}=2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{8}{4xy}\)
\(\ge2\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{8}{\left(x+y\right)^2}=\frac{2.4}{2^2}+\frac{8}{2^2}=\frac{16}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Vậy min Q = 4 khi x = y = 1
Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y + xy = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Cho các số thực x, y dương thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) \(\le\) 1; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{x^2+xy}\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)
\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Giúp mn vs :<
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}< =1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
Cho x,y dương thỏa mãn : \(xy+1\le y\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(Q=\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)
\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}.\)
Nhận xét :
x2 lớn hơn 0 ( với mọi x dương )
y2 lớn hơn 0 ( với mọi y dương )
Để Amin => \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\) Min => x2 và y2 max
Nhưng x + y = 2
=> x = y = 1
A min = \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{3}{1}=5\)
Vậy A min = 5 <=> x = y = 1
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}\) và x + y = 2
AM-GM => x + y >= \(2\sqrt{xy}\)
=> \(2\sqrt{xy}\)<= 2
=> xy <= 1
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{xy}\)
=> A >= 1/xy + 3/xy
=> A >= 4/xy
mà xy <= 1
=> A >= 4/1
=> A>= 4
dấu bằng sảy ra khi x = y = 2/2 = 1
Vậy GTNN của A là 4 khi x = y = 1
Nhầm 1/x^2 + 1/y^2 >= 2/xy
=> A >= 5
khi x = y = 1 nhé
Cho x, y là những số thực thỏa mãn x 2 – x y + y 2 = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x 4 + y 4 + 1 x 2 + y 2 + 1 . Giá trị của A = M + 15 m là
A. A = 17 - 2 6
B. A = 17 - 6
C. A = 17 + 6
D. A = 17 + 2 6