\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\) hay \(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[\frac{ln\left(1-x\right)}{1+x}\right]dx\)

Dù thế nào thì có lẽ người ra đề cũng nhầm lẫn, đây là 1 bài toán ko thể giải quyết trong chương trình phổ thông, nếu hàm là hàm sin chứ ko phải cos thì còn có cơ hội làm được trong chương trình 12

Tích phân sửa lại như sau thì giải quyết được bằng phương pháp thông thường:

\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}sin\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\)

Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên chỉ cần đặt \(x=-t\) sau đó đổi biến và cộng lại là suy ra ngay lập tức \(A=0\)

\(B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{cos^3x}{cos^3x+sin^3x}dx\) (1)

Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(B=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x}{sin^3x+cos^3x}dx\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2):

\(2B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x+cos^3x}{sin^3x+cos^3x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0dx=\frac{\pi}{2}\Rightarrow B=\frac{\pi}{4}\)

c/ \(C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}\right)dx\) (1)

Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(C=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx\left(2\right)\)

Cộng vế với vế của (1) và (2):

\(2C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}+\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx=0\)

\(\Rightarrow C=0\)

//Các dạng bài này đều giống nhau, nếu biểu thức đối xứng sin, cos và cận \(0;\frac{\pi}{2}\) thì đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\) rồi biến đổi và cộng lại

Đề thế này hả bạn?

\(A=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx\) (1)

Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(A=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{cost}}{\sqrt{cost}+\sqrt{sint}}\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{cost}}{\sqrt{sint}+\sqrt{cost}}dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2):

\(2A=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx+\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0dx=\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\pi}{4}\)

b/ \(B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx\)

Từ (2) ta thấy \(B=A=\frac{\pi}{4}\)

Đề là cho \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0sin2x.f\left(cos^2x\right)dx=1\)

Tính \(\int\limits^1_0\left[2f\left(1-x\right)-3x^2+5\right]dx\) 

Đúng ko nhỉ?

Xét \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0sin2x.f\left(cos^2x\right)dx\)

Đặt \(cos^2x=1-u\Rightarrow-2sinx.cosxdx=-du\) \(\Rightarrow sin2xdx=du\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=0\\x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(1-u\right)du=\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx=1\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[2f\left(1-x\right)-3x^2+5\right]dx=2\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx-\int\limits^1_0\left(3x^2-5\right)dx\)

\(=2.1-\left(-4\right)=6\)

1: =>sin^2(3x)=0

=>sin 3x=0

=>3x=kpi

=>x=kpi/3

2:

\(sinx=1-cos^2x=sin^2x\)

=>\(sin^2x-sinx=0\)

=>sin x(sin x-1)=0

=>sin x=0 hoặc sin x=1

=>x=pi/2+k2pi hoặc x=kpi

4:

sin 2x+sin x=0

=>sin 2x=-sin x=sin(-x)

=>2x=-x+k2pi hoặc 2x=pi+x+k2pi

=>x=pi+k2pi hoặc x=k2pi/3

5: =>cos(x+pi/3)=1/căn 2

=>x+pi/3=pi/4+k2pi hoặc x+pi/3=-pi/4+k2pi

=>x=-pi/12+k2pi hoặc x=-7/12pi+k2pi

1.

\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)

\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)

\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)

2.

\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)

\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)

\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)