Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\) (*)

a) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\) (1)

\(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

b) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{bk}{b}=k\) (3)

\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{bk+dk}{b+d}=\dfrac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)

c) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{a}{3a+b}=\dfrac{bk}{3bk+b}=\dfrac{bk}{b\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\) (5)

\(\dfrac{c}{3c+d}=\dfrac{dk}{3dk+d}=\dfrac{dk}{d\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\dfrac{a}{3a+b}=\dfrac{c}{3c+d}\)

d) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=k^2\) (7)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\) (8)

Từ (7) và (8) suy ra \(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

e) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk.b}{dk.d}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{b}{d}\) (9)

\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{b^2.k^2-b^2}{d^2.k^2-d^2}=\dfrac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\dfrac{b}{d}\) (10)

Từ (9) và (10) suy ra \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

f) Từ (*) ta có:

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk.b}{dk.d}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{b}{d}\) (11)

\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{\left[b\left(k-1\right)\right]^2}{\left[d\left(k-1\right)\right]^2}=\dfrac{b}{d}\) (12)

Từ (11) và (12) suy ra \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

Bài 1: 
Đặt a/b=c/d=k

=>a=bk; c=dk

a: \(\dfrac{a}{3a+b}=\dfrac{bk}{3bk+b}=\dfrac{k}{3k+1}\)

\(\dfrac{c}{3c+d}=\dfrac{dk}{3dk+d}=\dfrac{k}{3k+1}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{3a+b}=\dfrac{c}{3c+d}\)

c: \(\dfrac{2a+3b}{2a-3b}=\dfrac{2\cdot bk+3b}{2\cdot bk-3b}=\dfrac{2k+3}{2k-3}\)

\(\dfrac{2c+3d}{2c-3d}=\dfrac{2dk+3d}{2dk-3d}=\dfrac{2k+3}{2k-3}\)

Do đó: \(\dfrac{2a+3b}{2a-3b}=\dfrac{2c+3d}{2c-3d}\)

Có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\)

=> \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{ab}{cd}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

=> \(\frac{ab}{cd}+\left[\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2:\left(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)\right]-\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

= \(\frac{ab}{cd}+1-\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

= \(1\)

Cho tỉ lệ thức: a/b = c/d 
CMR ta có tỉ lệ thức sau: ab/cd = (a² - b²)/(c² - d²) 

Mình nghĩ bài này phải có thêm đk là c ≠ d nữa mới đủ ^^ 

Từ giả thiết: a/b = c/d --> a/c = b/d 
Theo tính chất tỉ lệ thức thì ta có: 
a/c = b/d = (a - b)/(c - d) = (a + b)/(c + d) 

Ta lấy: a/c = (a - b)/(c - d) 
và lấy: b/d = (a + b)/(c + d) 

--> (a/c).(b/d) = (a - b)/(c - d) . (a + b)/(c + d) 
--> ab/cd = (a² - b²)/(c² - d²) --> đpcm 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(b,Đặt:a=bk;c=dk\)

\(\frac{a}{3a+b}=\frac{bk}{3bk+b}=\frac{b.k}{b\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1};\frac{c}{3c+d}=\frac{dk}{3dk+d}=\frac{d.k}{d\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

\(c,\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}.Đặt:a=ck;b=dk\)

\(\frac{ac}{bd}=\frac{ckc}{dkd}=\frac{c^2}{d^2}\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2}=\frac{c^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{c^2}{d^2}.Vậy:\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(d,Đặt:a=bk;c=dk\)

\(\frac{ab}{cd}=\frac{bkb}{dkd}=\frac{b^2}{d^2}và:\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\frac{b^2k^2-2kb^2+b^2}{d^2k^2-2kd^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2-2k+1\right)}{d^2\left(k^2-2k+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(Vậy:\frac{ab}{cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

Mình giải câu a) thôi nhé, những câu còn lại bạn làm tương tự như mình thôi

a) Đặt a/b=c/d=k

suy ra: a=kb và c=kd

a/b=kb/b=k (1)

a+c/b+d=kb+kd/b+d=k(b+d)/b+d=k (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a/b=a+c/b+d

(những câu còn lại bạn đặt k rồi làm như mình nhé)