Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : x.y.z = 8
Tìm GTNN của A = \(\frac{x^2}{x^2+2x=4}\) + \(\frac{y^2}{y^2+2y+4}\) + \(\frac{z^2}{z^2+2z+4}\)
cho x,y là các số thực dương thỏa mãn 3(x^4+y^4+z^4)-7(x^2+y^2+z^2)+12=0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Tương tự , chứng minh đc :
\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)
\(\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn 3(x4 + y4 + z4 ) - 7( x2 + y2 + z2 ) + 12 = 0 .
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
Nguyên việt hiếu tự đặng tự trả lời nice :))
ê hiếu t có 1 cách nhưng mà bị ngược dấu :)) có cần t làm ko :))))
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)Tìm gtnn của \(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)
\(a+b+c=1\)
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x,y,z>0 thỏa mãn x(x-z)+y(y-z) =0 tìm GTNN của \(P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(xyz=8\). Chứng minh rằng
\(\frac{x^2}{x^2+2x+4}+\frac{y^2}{y^2+2y+4}+\frac{z^2}{z^2+2z+4}\ge1\)
Lời giải:
Do \(xyz=8\) nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho \((x,y,z)=\left(\frac{2a^2}{bc},\frac{2b^2}{ac},\frac{2c^2}{ab}\right)\)
Khi đó , BĐT cần CM tương đương với:
\(P=\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ac+a^2c^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}\geq 1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\) \((1)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c\). Tương tự với các cặp biểu thức còn lại và cộng theo vế suy ra \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq 1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
cho x,y,z là số thực ,\(xyz=2\sqrt{2}\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{x^8+z^8}{x^4+z^4+x^2z^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}\)
cho x;y;z thỏa mãn x+y+z=3
CMR: \(\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+x^2+z^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\ge4xyz\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)
\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Cần chứng minh \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Cauchy-Schwarz: \(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\)
Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
em là pô pô nê người con của Thái Nguyên
Bài này có nhiều cách làm. Cách khác:
Gọi vế trái của BĐT là P. Khi đó biến đổi P như sau:
\(P=\left(\frac{x^2}{4-yz}+\frac{y^2}{4-xz}+\frac{z^2}{4-yx}\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{4-yz}+\frac{1}{4-xz}+\frac{1}{4-yx}\right)\)
Theo BĐT Bunhiacopsky dạng phân thức ta có:
\(\frac{x^2}{4-yz}+\frac{y^2}{4-xz}+\frac{z^2}{4-yx}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\frac{1}{4-yz}+\frac{1}{4-xz}+\frac{1}{4-yx}\ge\frac{9}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\)
Do đó ta được:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{12-\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{9\left(x^2+y^2+z^2\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{9\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\ge\frac{12\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{36\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{12-3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)
đặt \(\sqrt[3]{xyz}=t\le\frac{x+y+z}{3}=1\). Khi đó ta có:
\(\frac{36t^2}{12-3t^2}-4t^3\Leftrightarrow12t^2\left(t-1\right)\left(t^2+t-3\right)\ge0\)
Đánh giá BĐT cuối cùng luôn đúng. BĐT được chứng minh xong
Cho các số x,y,z và x + y + z khác 0 thỏa mãn \(\frac{x+2y}{x+2y-z}=\frac{y+2z}{y+2z-x}=\frac{z+2x}{z+2x-y}\)
Tính \(T=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2+z^2}{yz}=\frac{z^2+x^2}{zx}\)
Cho các số x,y,z và x + y + z khác 0 thỏa mãn \(\frac{x+2y}{x+2y-z}=\frac{y+2z}{y+2z-x}=\frac{z+2x}{z+2x-y}\)
Tính \(T=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2+z^2}{yz}=\frac{z^2+x^2}{zx}\)