Ta có:
\(8=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
\(\Leftrightarrow a=x+y+z\ge6\)
Ta có:
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(x+y+z\right)+12}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\left(x+y+z\right)+12}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{3}+2a+12}=\frac{3a^2}{a^2+6a+36}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{3a^2}{a^2+6a+36}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(a+3\right)\ge0\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
Èo ngược dấu đoạn cuối mất rồi. Sorry nhìn nhầm
Giải lại chơi cách khác. Cái kia sai rồi nên đừng chép vo nha. Chép cái này nha
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{2a^2}{bc};\frac{2b^2}{ca};\frac{2c^2}{ab}\right)\) thì ta cần chứng minh
\(A=\frac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ca+c^2a^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)hay \(x=y=z=2\)
