\(\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{1}{2}ab\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{1}{2}bc\) ; \(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{1}{2}ca\)

Cộng vế:

\(P\ge a+b+c-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a+b+c-\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

Sử dụng bất đẳng thức  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)  với ba số  \(a,b,c\)  và ba số  \(x,y,z\)  không âm, ta có:

 \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)  \(\left(1\right)\) (do  \(a,b,c>0\))

Mà  \(a+b+c=3\)  (gt) nên \(\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)  \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  suy ra  \(P\ge3\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=1\)

Vậy,  \(P_{min}=3\)  khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x;y;z\ge0\) ta được :

\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=1\)

Vậy GTNN của B là \(\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(P=\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\frac{9}{2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)

\(=\frac{9}{2-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

@Thắng Nguyễn
Nếu đề là min của \(\text{ }\frac{1}{2x}-x^2+\frac{1}{2y}-y^2+\frac{1}{2z}-z^2\) thì liệu giải đ.c không nhỉ? 
 

chắc k đâu vì đề là a,b,c mà you sửa là x,y,z sao làm :v

dùng bđt 1/x+1/y+1/z >/ 9/(x+y+z) với x,y,z>0 

Vì 0 ≤ a ≤ b + 1 ≤ c + 2

=> 0 ≤ a + b + 1 + c + 2 ≤ c + 2 + c + 2 + c + 2

=> 0 ≤ 4 ≤ 3c + 6 (vì a + b + c = 1)

=> 3c + 6 ≥ 4

=> 3c ≥ -2 => c ≥ -2/3

Dấu " = " xảy ra <=> a + b + c = 1 <=> a + b + (-2/3) = 1 <=> a + b = 5/3

Vậy GTNN của c là -2/3 khi đó a + b = 5/3

Chắc em nhầm cô ạ!! Làm lại là:

Vì: \(0\le a\le b+1\le c+2\Rightarrow a+b+c\le c+2+c+1+c\)

\(\Leftrightarrow1\le3c+3\left(a+b+c=1\right)\)Hay \(3c\ge-2\Rightarrow c\ge-\frac{2}{3}\)

Vậy \(Min_C=-\frac{2}{3}\) Khi đó: \(a=\frac{4}{3};b=\frac{1}{3}\)

Theo đề:  \(0\le a\le b+1\le c+2\) nên:

\(a+b+c\le\left(c+2\right)+\left(c+2\right)+c\)

\(\Leftrightarrow1\le3c+4\)

\(\Leftrightarrow-3\le3c\)

\(\Leftrightarrow-1\le c\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+c=1\) và \(a=b+1=c+2\)

\(\Leftrightarrow a=1;b=0;c=-1\)

Vậy \(Min_C=-1\)

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

=> a² + b² \(\ge\)2ab

=>  a² + b² - 2ab\(\ge\)0

=> (a - b)² \(\ge\)0 (đúng)  

Dấu "=" xảy ra <=> a - b = 0 => a = b

=> Bất đẳng thức được chứng minh

P = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

=> \(\left(a+b+c\right).P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(3P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

=> \(3P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\left(cmt\right)\)

=> P \(\ge3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c 

mà a + b + c = 3

=> a = b = c = 1

Vậy Min P = 3 <=> a = b= c = 1

cách khác nhé 

b, Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có : 

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu ''='' xảy ra khi : \(a=b=c=1\)

Vậy GTNN P là 3 khi a = b = c = 1

Vì 0 ≤ a ≤ b + 1 ≤ c + 2 nên ta có a + b+c ≤ (c+2)+ (c+2) + c
<=> 1 ≤ 3c+ 4 <=> -3 ≤ 3c <=> -1≤ c
Dấu bằng xảy ra <=> a+b+c=1 và a=b +1 =c+2 <=> a=1, b=0, c=1
=> Giá trị nhỏ nhất của c = -1

bạn kia tên giống bạn đặt câu hỏi thế

chắc đang thể hiện sự t.h.ô.n.g.m.i.n.h của mình