1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

\(A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{-2xy+2}{xy+2}\)

\(=\frac{-2\left(xy+2\right)+6}{xy+2}=-2+\frac{6}{xy+2}\)

vì x,y>0 \(\Rightarrow xy\ge0\Rightarrow xy+2\ge2\Rightarrow\frac{6}{xy+2}\le\frac{6}{2}\)

\(\Rightarrow A\le-2+\frac{6}{2}=1\)

\(\Rightarrow maxA=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow maxA=1\)<=> x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=0

Áp dụng bđt (a+b)²>=4ab ta có:

\(1^2=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow xy+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge-2+6:\frac{9}{4}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow minA=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

Ta có:

\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\)

Nhận xét:  a,b,c không âm nên theo BĐT Cô - si, ta có:

\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)

=> \(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

=> \(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)

=> \(\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự, ta cũng có: 

\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\)

\(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Vậy ta suy ra

\(M=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ac}{2}\)

Mà a+b+c = 3 nên suy ra:

\(M\ge3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}\right)\)(1)

Ta có:

 \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

<=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3ab+3ac+3bc\)

<=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

<=> \(3^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

<=> \(ab+ac+bc\le3\)

<=> \(\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}\)

<=> \(3-\frac{ab+ac+bc}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)

Từ 1 và 2 => \(M\ge\frac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

\(S=\left(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}\right)+\frac{3}{4a}+\frac{3}{4b}+\frac{3}{4c}\)

\(\ge9\sqrt[9]{a^2b^2c^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\ge\frac{9}{4}+9.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.2=\frac{27}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{27}{4}\)

trả lời lẹ cho tui cấy

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)

\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)

cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2

Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2

Ctv lá láo gì abj