Chứng minh 1/101 + 1/102 + ... + 1/299 + 1/300 > 2/3
Ta có:
1/101>1/300
1/102>1/300
.....
1/299>1/300
=>VT>200.1/300=200/300=2/3(dpcm)

Chứng minh 1/101 + 1/102 + ... + 1/299 + 1/300 > 2/3
Ta có: 1/101> 1/300; 1/102> 1/300; .....; 1/300= 1/300
1/101 + 1/102 + ... + 1/299 + 1/300 > 1/300+ 1/300+ .........+1/300= 200/300= 2/3
Vậy 1/101 + 1/102 + ... + 1/299 + 1/300 > 2/3 (dpcm)

a )   Số lượng số của dãy số trên là : 

\(\left(200-101\right):1+1=100\) ( số ) 

Do \(100⋮2\)nên ta nhóm dãy số trên thành 2 nhóm như sau : 

\(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}=\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{150}\right)+\left(\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(\frac{1}{101}>\frac{1}{150};\frac{1}{102}>\frac{1}{150};...;\frac{1}{149}>\frac{1}{150};\frac{1}{150}=\frac{1}{150}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{150}>\frac{1}{150}.50=\frac{1}{3}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{151}>\frac{1}{200};\frac{1}{152}>\frac{1}{200};...;\frac{1}{199}>\frac{1}{200};\frac{1}{200}=\frac{1}{200}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+...+\frac{1}{200}>\frac{1}{200}.50=\frac{1}{4}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+...+\frac{1}{200}>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{2}\left(3\right)\)

\(\frac{1}{101}< \frac{1}{100};\frac{1}{102}< \frac{1}{100};...;\frac{1}{199}< \frac{1}{100};\frac{1}{200}< \frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}< \frac{1}{100}.100=1\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrowđpcm\)

b )  Số lượng số dãy số trên là : 

\(\left(150-101\right):1+1=50\)( số ) 

Ta có : \(\frac{1}{101}>\frac{1}{150};\frac{1}{102}>\frac{1}{150};\frac{1}{103}>\frac{1}{150};...;\frac{1}{150}=\frac{1}{150}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+...+\frac{1}{150}>\frac{1}{150}.50=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dễ thấy 1/101+1/102+1/103+...+1/200>100x1/200

=>1/101+1/102+1/103+...+1/200>100/200=1/2

=>đpcm

S=1/101+1/102+...+1/200

=>S>1/200+1/200+...+1/200=100/200=1/2

S=1/101+1/102+...+1/200

=>S<1/100+1/100+...+1/100=100/100=1

=>1/2<S<1

biểu thức AB.101=

Ta có: S=1/101 > 1/200

1/102 > 1/200

1/103 > 1/200

........

1/199 > 1/200

1/200 = 1/200

=>1/101 +1/102 +1/103 +.... +1/199 +1/200 > 1/200 + 1/200 +1/200 +..... +1/200

=>1/101 + 1/102 +1/103 +..... +1/200 > 1/200x100 = 1/2

Vậy biểu thức đã cho S > 1/2 

j mà  nhìu zu zậy làm bao giờ mới xong

Ủng hộ mk đi các bạn
 

Lời giải:
Ta thấy:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+....+\frac{1}{150}> \frac{1}{150}+\frac{1}{150}+\frac{1}{150}+....+\frac{1}{150}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}$ (1)

$\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+\frac{1}{153}+...+\frac{1}{200}> \frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+....+\frac{1}{200}=\frac{50}{200}=\frac{1}{4}$ (2)

Cộng kết quả (1) và (2) theo vế ta được:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+...+\frac{1}{200}> \frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$

Lời giải:

Dễ dàng thấy $S>0$

Mặt khác:
$S=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{200}< \frac{1}{101}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{101}=\frac{100}{101}<1$
Vậy $0< S< 1$ nên $S$ không phải số nguyên.

     Hôm nay olm sẽ hướng dẫn các em  giải dạng chứng minh một số không phải là một số nguyên thì các em cần sử dụng nguyên lý kẹp em nhé.  Em cần chứng minh a < S < a + 1 ( a \(\in\) Z)

  Sau đó em lập luận vì S nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nên S không phải là số nguyên vì không tồn tại một số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

                                          Giải:

S = \(\dfrac{1}{101}\) + \(\dfrac{1}{102}\)+ \(\dfrac{1}{103}\)+ ...+ \(\dfrac{1}{200}\) 

Xét dãy số: 101; 102;...; 200 có số số hạng là (200 - 101):1+1= 100

Mặt khác ta cũng có \(\dfrac{1}{101}\)> \(\dfrac{1}{102}\)> \(\dfrac{1}{103}\)> ...> \(\dfrac{1}{200}\) 

⇒ \(\dfrac{1}{101}\) \(\times\) 100 > \(\dfrac{1}{101}\)+ \(\dfrac{1}{102}\)+\(\dfrac{1}{103}\)+...+\(\dfrac{1}{200}\) > \(\dfrac{1}{200}\) \(\times\) 100

⇒ \(\dfrac{100}{101}\) >  S  > \(\dfrac{100}{200}\)⇒ \(\dfrac{100}{101}\) > S > \(\dfrac{1}{2}\) ⇒   1 > S > 0 ⇒ S \(\notin\) Z (đpcm)

Vì 0 và 1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên S không phải là số nguyên do không tồn tại một số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.