Bài 1: Hình tự vẽ :v

Ta có : BE=BC ⇒ΔABE cân ⇒∠E=∠BCE

ΔABC là góc ngoài ΔBEC⇒∠ABC=∠E+∠BCE=2∠E

Mà ∠ABD=∠DBC⇒∠E=∠BCE=∠ABD=∠DBC

⇒BD//CE

Bài 2 :

MAB cân tại M => MA= MB

Mà MC= MB => MA= MB= MC

ABC có trung tuyến ứng với một cạnh bằng 1 nửa cạnh đấy nên là tam giác vuông tại A.

=>

Bài 1:

Ta có: BE = BC (GT)

=> ΔBEC cân tại B

=> \(\widehat{BEC}=\widehat{BCE}\) (1)

Ta có: \(\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=\widehat{ABC}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

a) Xét ΔAOC vuông tại A và ΔOBD vuông tại B có

OA=OB(gt)

\(\widehat{O}\) là góc chung

Do đó: ΔAOC=ΔOBD(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

b) Xét ΔOIB vuông tại B và ΔOIA vuông tại A có

OI là cạnh chung

OB=OA(gt)

Do đó: ΔOIB=ΔOIA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒IB=IA(hai cạnh tương ứng)

Ta có: IB+ID=BD(do B,I,D thẳng hàng)

IA+IC=AC(do A,I,C thẳng hàng)

mà IB=IA(cmt)

và BD=AC(do ΔAOC=ΔOBD)

nên ID=IC

Xét ΔIDC có ID=IC(cmt)

nên ΔIDC cân tại I(định nghĩa tam giác cân)

c) Ta có: ΔOIB=ΔOIA(cmt)

nên \(\widehat{BIO}=\widehat{AIO}\)(hai góc tương ứng)

mà tia IO nằm giữa hai tia IA,IB

nên IO là tia phân giác của \(\widehat{AIB}\)(đpcm)

d) Ta có: ΔAOC=ΔOBD(cmt)

⇒OC=OD(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔOCD có OC=OD(cmt)

nên ΔOCD cân tại O(định nghĩa tam giác cân)

mà OK là đường cao ứng với cạnh CD(IK⊥DC,O∈IK)

nên OK là đường phân giác ứng với cạnh CD

⇒OK là tia phân giác của \(\widehat{COD}\)

hay OK là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

Ta có: ΔOIB=ΔOIA(cmt)

⇒\(\widehat{IOB}=\widehat{IOA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia OI nằm giữa hai tia OA,OB

nên OI là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

Ta có: OI là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)(cmt)

OK là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)(cmt)

mà OI và OK có điểm chung là O

nên O,I,K thẳng hàng

bạn tự vẽ hình nha

a,△IHK cân tại I ⇒∠H=∠K

mà ∠H=65 =>K=H=65

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 nên:

I=180-65.2=50

b,Xét △IMH và △IMK ta có:

IH=IK(GT)

IM chung

MH=MK(GT)

=>△IMH=△IMK(C.C.C)

c,Xét △IAM và △IBM có:

IM chung

∠AIM=∠BIM(DO △IMH=△IMK)

=>△IAM=△IBM( cạnh huyền - góc nhọn)

d,Xét △AMH và △BMK có:

∠AHM=∠BKM(GT)

MH=MK(GT)

=>△AMH=△BMK(cạnh huyền - góc nhọn)

e,Xét △HMN VÀ △BMK CÓ:

HM=MK(GT)

∠HMN=∠BMK(đối đỉnh)

MN=BM(GT)

=>△HMN=△BMK(C.G.C)

=>∠HNM=∠MBK=90⁰

=>HN⊥NB

Ta có:

HN⊥NB

IK⊥NB

=>HN//IK

Sửa đề: b: Cắt BD kéo dài tại I

a: Xét ΔDBC có

DM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔDBC cân tại D

b: AH vuông góc với DM

DM vuông góc với BC

Do đó: AH//BC

=>góc DAI=góc DCB

=>góc CAH=góc DBC

c: Xét ΔDAI có góc DAI=góc DIA

nên ΔDAI cân tại D

=>DA=DI

=>AC=BI

Xét ΔABC và ΔICB có

AB=IC

BC chung

AC=IB

DO đó: ΔABC=ΔICB

Câu hỏi của Vy Hà Khánh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Bài 2 :

a) Xét \(\Delta ABM,\Delta ADM\) có :

\(AB=AD\left(gt\right)\)

\(AM:chung\)

\(BM=DM\) (M là trung điểm của BD)

=> \(\Delta ABM=\Delta ADM\left(c.c.c\right)\)

b) Từ \(\Delta ABM=\Delta ADM\) (cmt - câu a) suy ra :

\(\widehat{AMB}=\widehat{AMD}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{AMB}+\widehat{AMD}=180^o\left(Kềbù\right)\)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMD}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(AM\perp BD\rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta ABK,\Delta ADK\) có :

AB = AD (gt)

\(\widehat{BAK}=\widehat{DAK}\) (\(\Delta ABM=\Delta ADM\))

AK :Chung

=> \(\Delta ABK=\Delta ADK\left(c.g.c\right)\)

d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABK}+\widehat{FBK}=180^{^O}\\\widehat{ADK}+\widehat{CDK}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABK}=\widehat{ADK}\) (do \(\Delta ABK=\Delta ADK\left(c.g.c\right)\)

Nên : \(180^o-\widehat{ABK}=180^o-\widehat{ADK}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{FBK}=\widehat{CDK}\)

Xét \(\Delta BFK,\Delta DCK\) có :

\(BF=CD\left(gt\right)\)

\(\widehat{FBK}=\widehat{CDK}\left(cmt\right)\)

\(BK=DK\) (\(\Delta ABK=\Delta ADK\left(c.g.c\right)\))

=> \(\Delta BFK=\Delta DCK\left(c.g.c\right)\)

=> FK = DK (2 cạnh tương ứng)

=> K là trung điểm của FD

=> F, D, K thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )

\(PI:chung\)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)

*Cách khác :

Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)

\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)

b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :

\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PI:Chung\)

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)

Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta PHK\) có :

\(PK=PH\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)

d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :

\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :

\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị

=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)