Xét tam giác \(ABE\)và tam giác \(HBE\)có: 

\(\widehat{HBE}=\widehat{ABE}\)(vì \(BE\)là phân giác góc \(ABC\)) 

\(BE\)cạnh chung

\(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\)

Suy ra \(\Delta HBE=\Delta ABE\)(cạnh huyền - góc nhọn) 

a) xét tam giác ABE và tam giác HBE có:

góc ABE = góc HBE ( BE là tia phân giác góc B )

cạnh BE chung

góc A = góc H ( = 90 độ )

b) vì BE là tia phân giác của góc B

=> góc ABE = góc HBE = 60 độ/2 = 30 độ

vì góc HBE và góc CHE là 2 góc đồng vị ( HK // BE )

=> góc EBH = góc CHK = 30 độ

xét tam giác HBE có:

góc EBH + góc BHE + góc BEH = 180 độ (định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác)

=> góc BEH = 180 độ - ( góc EBH + góc BHE )

                     = 180 độ - ( 30 độ + 90 độ )

                     = 60 độ

vì góc BEH và góc EHK là 2 góc so le trong

=> góc BEH = góc EHK = 60 độ

vì tam giác ABE = tam giác HBE ( theo cm ý a )

=> góc BEH = góc BEA = 60 độ

vì góc AEK là góc bẹt ( = 180 độ )

=> góc HEK = 180 độ - góc BAE - góc BEH

                     = 180 độ - 60 độ - 60 độ

                     = 60 độ

vì tam giác EHK có góc EHK = góc HEK

=> tam giác EHK là tam giác cân mà góc HEK = 60 độ

=> tam giác EHK là tam giác đều

mik ko bít vẽ hink  :(

a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)

Do đó: ΔABE=ΔHBE(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(gt)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔEBC có \(\widehat{ECB}=\widehat{EBC}\left(=30^0\right)\)

nên ΔEBC cân tại E(định lí đảo của tam giác cân)

⇒EB=EC

Xét ΔEBH vuông tại H và ΔECH vuông tại H có

EB=EC(cmt)

EH chung

Do đó: ΔEBH=ΔECH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{BEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E của ΔABE(EA và EC là hai tia đối nhau)

nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BAE}+\widehat{ABE}\)(định lí góc ngoài của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=90^0+30^0=120^0\)

Ta có: ΔEBH=ΔECH(cmt)

⇒\(\widehat{BEH}=\widehat{CEH}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BEH}+\widehat{CEH}=\widehat{BEC}\)(tia EH nằm giữa hai tia EB,EC)

nên \(\widehat{BEH}=\widehat{CEH}=\frac{\widehat{BEC}}{2}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KEH}=60^0\)

Ta có: HK//BE(gt)

⇒\(\widehat{BEH}=\widehat{KHE}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{BEH}=60^0\)(cmt)

nên \(\widehat{KHE}=60^0\)

Xét ΔKHE có

\(\widehat{KEH}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{KHE}=60^0\)(cmt)

Do đó: ΔKHE đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

d) Xét ΔAEI vuông tại A có EI là cạnh huyền(EI là cạnh đối diện với \(\widehat{EAI}=90^0\))

nên EI là cạnh lớn nhất trong ΔAEI(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

hay EI>EA

mà EA=EH(ΔBAE=ΔBHE)

nên IE>EH(đpcm)