cho x+y=2 tìm GTNN CỦA (x^8+y^8)+3/xy
cho x+y=2 tìm GTNN CỦA (x^8+y^8)+3/xy
Áp dụng liên tục BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) kết hợp \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(P=\left(x^4\right)^2+\left(y^4\right)^2+\frac{3}{xy}\ge\frac{\left(x^4+y^4\right)^2}{2}+\frac{3}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\ge\frac{\left(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right)^2}{2}+\frac{12}{\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^4}{8}+3\)
\(P\ge\frac{\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right)^4}{8}+3=\frac{\left(x+y\right)^8}{128}+3=5\)
\(\Rightarrow P_{min}=5\) khi \(x=y=1\)
Cho x+y+xy=8. TÌm GTNN của P=x2+y2.
Ta có
3P + 8 = (2a2 + 2b2) + (a 2 + 4) + (b2 + 4)
\(\ge4ab+4a+4b\)= 32
=> P\(\ge\)8
Đạt được khi a = b = 2
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+zx=3\end{cases}}\)Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)
\(\sqrt{x^3+8}=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)
=>\(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
=>A\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
mà \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx=9\)
=>\(x+y+z\ge3\)
Xét TS-MS= 2\(4\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-18\ge12+6-18=0\)
=>TS/MS \(\ge1\)
=>A\(\ge1\)
Dấu = khi x=y=z=1
x,y,z, dương tm:x+y+z>=3. Tìm GTNN của P= \(\frac{x^2}{yz+\sqrt{8+x^3}}+\frac{y^2}{xz+\sqrt{8+y^3}}+\frac{z^2}{xy+\sqrt{8+z^3}}\)
Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn :
\(x^2 + \frac{8}{x^2} + \frac{y^2}{8} = 8\)
Tìm GTNN của P = xy +2019
1=2018x+2019y≥(2018+2019)2x+y⇒x+y≥(2018+2019)2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
xy=20182019" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(x+y\le2\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{8}{x+2y+3}\)
cho x + y + xy = 8. Tìm GTNN của P = x2 + y2
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+2^2\geq 4x$
$y^2+2^2\geq 4y$
$2(x^2+y^2)\geq 4xy$
$\Rightarrow 3(x^2+y^2)+8\geq 4(x+y+xy)=32$
$\Rightarrow x^2+y^2\geq 8$
Vậy $P_{\min}=8$ khi $x=y=2$
Cho x,y >0, xy=8, x>y.
Tìm GTNN của: P=\(\frac{x^2+y^2}{x-y}\)
Giúp mk vs, đc k?
Ta có: \(P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2xy}{x-y}\)
\(=x-y+\frac{16}{x-y}\ge2.4=8\)
Đặt \(t=x^2+y^2\) thì ta có :
\(P^2=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}=\frac{t^2}{t-16}=\frac{1}{\frac{t-16}{t^2}}=\frac{1}{-\frac{16}{t^2}+\frac{1}{t}}=\frac{1}{-16\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{32}\right)^2+\frac{1}{64}}\ge\frac{1}{\frac{1}{64}}=64\)
\(\Rightarrow P\ge8\). Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=32\\xy=8\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2+2\sqrt{2}\\y=-2+2\sqrt{3}\end{cases}}\)
Bài 1 : Cho x - y = 2 > Tính GTNN ( Giá trị nhỏ nhất) của :
a) P = xy + 4
b) Q = x2 + y2 - xy
Bài 2 : Tìm x thuộc Z để :
a) P = 9 - 2| x - 3 | đạt GTLN
b) Q = | x - 2 | + | x - 8 | đạt GTNN
Bài 1: Sử dụng phép thế
Có x - y = 2 => x = 2 + y
Thay x = 2 + y vào các biểu thức cần tính
Bài 2:
\(P=9-2\left|x-3\right|\le9\) dấu bằng <=> x = 3
\(Q=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=6\) dấu bằng <=> \(\left(x-2\right)\left(8-x\right)\ge0\)