Gọi A là số chính phương A = n² (n ∈ N)

a)Xét các trường hợp:

n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k² chia hết cho 3

n= 3k 1  (k ∈ N) A = 9k²  6k +1 chia cho 3 dư 1

Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .

b)Xét các trường hợp

n =2k (k ∈ N) ⇒ A= 4k², chia hết cho 4.

n= 2k+1(k ∈ N) ⇒ A = 4k² +4k +1

= 4k(k+1)+1,

chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)

vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 .

     Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:

-Số chính phương chẵn chia hết cho 4

-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).

bạn à câu C hình như bạn viết thiếu đề

a)Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương 

b) Chứng minh rằng tổng các bình phương của không  số nguyên liên tiếp (k=3,4,5) không là số chính phương

Nếu a chia 3 dư 0 thì a²chia 3 dư 0

Nếu a chia 3 dư 1 thì a² chia 3 dư 1

Nếu a chia 3 dư 2 thì a² chia 3 dư 1

=> số cp chia 3 dư 0 hoặc 1

Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K1, K2, K3, K4, K5 (phân biệt từng đôi một).Ta có : 
K1 = 2^(a1).3^(b1) 
K2 = 2^(a2).3^(b2) 
K3 = 2^(a3).3^(b3) 
K4 = 2^(a4).3^(b4) 
K5 = 2^(a5).3^(b5) 
(a1,a2,a3,... và b1,b2,b3,... đều là số tự nhiên) 
Xét 4 tập hợp sau : 
+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n lẻ) 
+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n chẵn) 
+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n lẻ) 
+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n chẵn) 
Rõ ràng trong 5 số K1, K2, K3, K4, K5 chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ Ki và Kj 
Ki = 2^(ai).3^(bi) và Kj = 2^(aj).3^(bj) ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) 
Vì Ki và Kj thuộc cùng 1 tập hợp ---> ai và aj cùng tính chẵn lẻ, bi và bj cùng tính chẵn lẻ ---> ai+aj và bi+bj đều chẵn ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) là số chính phương. 

Cách 1: 

Số trong 5 số có dạng 2^x.3^y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0.

(x;y) chỉ có thể (C;C); (L;L); (C;L); (L;C) vì có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương.

Cách 2:

Ta dễ dàng chứng minh được trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số bất kỳ mà tổng của chúng chia hết cho 2.

Vì số trong 5 số có dạng 2^x.3^y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0 nên ta luôn chọn được 2 số mà tích của nó là số chính phương.

huk mìk như pn thuj có 6 đề hsg đây nè

Mình giải đc r ^^ 

ớ câu c làm kiểu j bạn?

Ta có \(31.\left(x+2y\right)=31x+2y=5.\left(6x+11y\right)+\left(x+7y\right)\)

Do 6x + 11y chia hết cho 31 nên \(5.\left(6x+11y\right)\) chia hét cho 31.

\(\Rightarrow\) x + 7y chia hết cho 31 (đpcm).