a) Ta có f(7) = a7 + b và f(2) + f(3) = (a2+ b) + (a3 + b) = 5a + 2b. Vậy để f(7) = f(2) + f(3), ta cần giải phương trình:
a7 + b = 5a + 2b
Simplifying, ta được: 2a = b.
Vậy điều kiện của a và b để f(7) = f(2) + f(3) là b = 2a.
b) Để tìm nghiệm của P(x), ta cần giải phương trình (x-2)(2x+5) = 0:
(x-2)(2x+5)= 0
→ X-2 = 0 hoặc 2x+5 = 0
→ x = 2 hoặc x = -5/2
Vậy nghiệm của P(x) là x = 2 hoặc x =-5/2.
c) Ta biết rằng đa thức P(x) có 1 nghiệm là -2, vậy ta có thể viết P(x)

dưới dạng:
P(x) = (x+2)(x^3 - 2x^2 + ax - 2)
Từ đó suy ra:
P(-2) = (-2+2)(8 - 4a - 2) = 0
⇔-8a= 16
⇔a = -2
Vậy hệ số a của P(x) là -2.

tại sao a7 + b = 5a + 2b lại bằng  2a = b vậy ạ

Vì f(x) có 1 nghiệm là x=-3 nên ta có: \(f\left(-3\right)=9-3a+b=0\Rightarrow-3a+b=-9\)(1)

\(f\left(2\right)=4+2a+b=5\Rightarrow2a+b=1\)(2) 

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow-3a+b-2a-b=-9-1\Rightarrow-5a=-10\Rightarrow a=2\)

Thay a vào tính b rồi tính 

1) \(\left(x^2-4x+3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right)f\left(x-1\right)\)

Với \(x=1\): \(0=-1f\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(0\right)=0\)do đó \(0\)là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\).

Tương tự xét \(x=2,x=3\)có thêm hai nghiệm nữa là \(3\)và \(2\).

2) \(f\left(2\right)=4a-2+b=0\Leftrightarrow4a+b=2\)

Tổng hệ số cao nhất và hệ số tự do là \(a+b\)suy ra \(a+b=-7\).

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}4a+b=2\\a+b=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=9\\b=-7-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-10\end{cases}}\).

Ta có: F(x) = x² + ax + b

* F(2) = 2² + 2a + b = 0   =>

            => 4 + 2a + b  = 0  (1)

* F(3) = 3² + 3a + b =0 

        => 9 + 3a + b =0    (2)

- Lấy (2) - (1) , ta có:

 (9 + 3a + b ) - (4+ 2a + b) = 0   

=> (9-4) + (3a-2a) +(b-b) =0

=> 5+a=0

=> a= -5

- Từ 4+2a+b=0   =>  b= -4 - 2a

Mà a= -5

=> b = -4 - 2.(-5) 

=> b= -4 + 10 

=> b =6