pt 1) x=y=z  Cosi 3 số 

a) \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x+y\right)=0\\\left(y+1\right)\left(2y-x\right)=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(y+1\right)\left(2y-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\y=-1;y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\cdot y=-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1;x=\frac{1}{2}\\0=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=2y\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2y-1\right)5y=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\Rightarrow x=0\\y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
\(y=-2x\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(1-2x\right)5x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=-1\\x=0\Rightarrow y=0\end{cases}}\)

b) \(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{21}{8}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{37}{6}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\\left(\frac{21}{8}-y\right)^2+y^2=\frac{37}{6}y\left(\frac{21}{8}-y\right)\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\2y^2-\frac{21}{4}y+\frac{441}{64}=-\frac{37}{6}y^2+\frac{259}{16}y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\1568y^2-4116y+1323=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{8}\\y=\frac{9}{4}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{3}{8}\end{cases}}\)

c) \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{z^2}=\left(2-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x-y\right)^2=-4x^2y^2+2xy\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x^2y^2-4x^2y-4xy^2+x^2+y^2-2xy+2xy=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2y^2-4x^2y+x^2+4x^2y^2-4xy^2+y^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x\right)^2+\left(2xy-y\right)^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=\frac{-1}{2}\end{cases}}\)
d) \(\hept{\begin{cases}xy+x+y=71\\x^2y+xy^2=880\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}}\), ta có: \(\hept{\begin{cases}S+P=71\\SP=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P\left(71-P\right)=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P^2-71P+880=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\)
\(\cdot\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=16\\xy=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y\left(16-y\right)=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y^2-16y+55=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=11\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=11\\y=5\end{cases}}\)

\(\cdot\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=55\\xy=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y\left(55-y\right)=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y^2-55y+16=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}\)

e) \(\hept{\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=12\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=28\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\\P=\sqrt{xy}\end{cases}}\), ta có \(\hept{\begin{cases}SP=12\\P\left(S^2-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\P\left(\frac{144}{P^2}-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\2P^4+28P^2-144P=0\end{cases}}\)
Tự làm tiếp nhá! Đuối lắm luôn

với x, y,z>0

Phương trình ( 2 ) \(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(3x+2y+z\right)=36\)

\(\Leftrightarrow6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)=22\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : 

\(6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge12;3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge6;2\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge22\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

khi đó : ( 1 ) \(\Leftrightarrow x^3+x^2+x-14=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 2

ủa t trả lời r mà

1111111111111111111

\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)

Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)

Là xong.

\(C,\hept{\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|+3y=3\left(#\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3y-\left|y-2\right|=2\)(1)

*Nếu y > 2 thì 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3y-y+2=2\)

        \(\Leftrightarrow y=0\)(Loại do ko tm KĐX)

*Nếu y < 2 thì

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3y-2+y=2\)

\(\Leftrightarrow y=1\)(Tm KĐX)

Thay y = 1 vào (#) được \(\left|x-1\right|+3=3\)

                                    \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy hệ có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

\(A,ĐKXĐ:x\left(y+1\right)>0\)

\(\hept{\begin{cases}x+y=5\left(1\right)\\\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y+1}{x}}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (2) 

Có bđt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(a,b>0\right)\)

Nên \(\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y+1}{x}}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y+1\)

Thế x = y + 1 vảo pt (1) được

\(y+1+y=5\)

\(\Leftrightarrow y=2\)

\(\Rightarrow x=2+1=3\)

Thấy x = 3 ; y = 2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy hệ có ngihiemej \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\)

\(B,ĐKXĐ:y\ne0\)

Từ \(pt\left(2\right)\Rightarrow x\ne0;-y\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=a\\\frac{x}{y}=b\end{cases}\left(a;b\ne0\right)}\)

Hệ trở thành\(\hept{\begin{cases}a+b=9\\ab=20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=9-b\\\left(9-b\right)b=20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=9-b\\9b-b^2=20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=9-b\\b^2-9b+20=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=9-b\\b=5\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}a=9-b\\b=4\end{cases}}}\)

*Với \(\hept{\begin{cases}a=9-b\\b=5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=4\\b=5\end{cases}}\)

                                     \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x}{y}=5\end{cases}}\)

                                     \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\x=5y\end{cases}}\)

                                      \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6y=4\\x=5y\end{cases}}\)

                                     \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{2}{3}\\x=\frac{10}{3}\end{cases}}\left(TmĐKXĐ\right)\)

Trường hợp còn lại bạn làm tương tự

đây là bài bất IMO 2008 

Đặt \(a=\frac{x}{x-1};b=\frac{y}{y-1};c=\frac{z}{z-1}\)từ đó giả thiết trở thành 

\(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)Suy ra được : \(a+b+c-ab-bc-ca=1\)

Bài toán bây giờ trở thành chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c-ab-bc-ca\right)-1\)

\(< =>\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Đặt \(\sqrt{x}=x;\sqrt{y}=y;\sqrt{z}=z\) cho dễ nhìn.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=2\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)

Ta có:

\(x\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)+y\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)+z\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(=x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x+y+z\)

\(=xyz\left(xy+yz+zx\right)+x^2\left(2-x\right)+y^2\left(2-y\right)+z^2\left(2-z\right)+2\)

\(=-2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)+2\)

\(=-2xyz+6-\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(=-2xyz+6-2=-2xyz+4\)

Ta lại có:

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)=x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2+1\)

\(=x^2y^2z^2+\left(xy+yz+zx\right)^2-2xyz\left(xy+yz+zx\right)+3\)

\(=x^2y^2z^2-2xyz+4=\left(xyz-2\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)

Tới đây bí :((

thanks nha, z là ok rồi

Giải tiếp bài làm của bạn alibaba nguyễn:

\(A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)

\(A=\left(xyz-2\right).\frac{2\left(2-xyz\right)}{\left(2-xyz\right)^2}\\ A=\left(xyz-2\right).\frac{2}{2-xyz}\\ A=\frac{\left(xyz-2\right).2}{2-xyz}\\ A=\frac{-\left(2-xyz\right).2}{2-xyz}\\ A=-2\)