a. AE = AF: 
Δ ABE = Δ ADF vì: 
AB = AD ( cạnh hình vuông) 
\(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\)( cùng phụ với DAE^) 
=> AE = AF 

b. Tứ gaíc EGFK là hình thoi 
EG // AB và AB // FK => EG // FK (*)

=>  \(\widehat{GEF}=\widehat{KFE}\)(1) ( so le trong) 
cm câu a) có AF = AE => trung tuyến AI củng là đường trung trực của EF => AI \(\perp\)EF 
theo giả thiết: IE = IF (2) 
(1) và (2) => Δ IKF = Δ IGE => FK = EG (**) 
(*) và (**) => EGFK là hình bình hành 
vì AI là trung trực của EF => EG = FG 
vậy hình bình hành EGFK là hình thoi. 

c. tam giác FIK đồng dạng tam giác FCE 
Δ FIK ~ Δ FEC vì: 
\(\widehat{F}\)chung 
\(\widehat{KIF}=\widehat{ECF}\) = 1v 

d. EK = BE + DK và khi E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK không đổi 
gọi cạnh hình vuông là a, ta có: 
CV = EC + CK + EK = (BC - BE) + (CD - DK) + (BE + DK) = BC + CD = 2a không đổi

Bài làm
Ta có Qua E kẻ đường thẳng với AB cắt AD tại H.
a)Ta có DAEˆ+FADˆ=90o
Xét trong tam giác vuông tại H(do EH//AB=>HE vuông góc với AD)
Có DAEˆ=AEHˆ=90o
=>AEHˆ=FADˆ.
Xét tam giác HAE và tam giác DFA có:
HE=AD(do HE=AB(c/m dễ dàng))
ADFˆ=EHAˆ=90o
AEHˆ=FADˆ(c/m trên)
=>Tam giác HAE=Tam giác DFA(cạnh huyền-góc nhọn)
=>AE=FA.
Ta có AE=FA=>Tam giác AFE vuông cân tại A
=>AI vừa là trung tuyến cũng vừa là đường vuông góc! xuất phát từ đỉnh.
Từ đây =>FE vuông góc với GK kết hợp với IF=IE,AE//DC(do AB//DC)
Dễ dàng chứng mình được AEKF là hình thoi.
b)Xem lại đề nhé AEF không thể đồng dạng với CAF do CFAˆ=AFEˆ+EFCˆ.
Ta có AC là đường chéo nên cũng là Phân giác của góc đó luôn.
Nên ta có DAKˆ+KACˆ=45o
Ta cũng có AK là phân giác trong tam giác vuông cân tại đỉnh A.
=>KACˆ+CAEˆ=45o
=>CAEˆ=DAKˆ.
Ta xét trong tam giác vuông ADK tại D.
Có AKDˆ+DAKˆ=90o
MÀ FACˆ+EACˆ=90o
hay FACˆ+DAKˆ=90o
=>FACˆ=AKDˆ
Xét hai tam giác AFK và tam giác CFA có:
AFCˆ chung
FACˆ=AKDˆ(c/m trên)
=>Tam giác AFK đồng dạng với tam giác CFA
=>AFFK=CFAF
=>AF2=CF.FK

tốp scorer ơi,mình không hiểu phần kẻ thêm ở đàucủa bạn, bạn có hình ko

bạn giải giúp mình giải câu c khi điểm E chuyển động trên BC, chứng minh FK=BE+DK và chu vi tam giác ECK không đổi 

KO HIỂU '-'

no biết

đề khó nhỉ

a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)ADF:  AB=AD; ^ABE=^ADF=90⁰;  ^BAE=^DAF (Cùng phụ với ^DAE)

=> \(\Delta\)ABE=\(\Delta\)ADF (g.c.g) => AE=AF (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)AEF vuông cân tại A (Do ^EAF=90⁰)

=> Trung tuyến AI của \(\Delta\)AEF đồng thòi là đường trung trực của EF

Ta thấy 2 điểm K và G nằm trên AI nên GE=GF; KE=KF (1)

Lại có: GE//AB hay GE//CD => ^GEF=^KFE. Mà ^KFE=^KEF (Do tam giác EKF cân tại K)

=> ^GEF=^KEF => EF hay EI là đường phân giác ^GEK

Xét \(\Delta\)EGK: EI\(\perp\)GK; EI là phân giác ^GEK => \(\Delta\)EGK cân tại E => EG=EK (2)

Từ (1) và (2) => GE=GF=KE=KF => Tứ giác EKFG là hình thoi (đpcm).

b) Ta có: EF\(\perp\)AK tại I (Dễ chứng minh) => \(\Delta\)FIK ~ \(\Delta\)FCE (g.g)

=> \(\frac{FI}{FC}=\frac{FK}{FE}\)=> FK.FC = FI.FE

Vì tam giác AEF vuông tân tại A và có đường trung tuyến AI => AI=FI

=> FK.FC=AI.EF (đpcm).

c) C_ECK= CE+CK+EK = CE+CK+FK (Do EK=FK) = CK+CE+DK+DF

Ta có: \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADF (cmt) => BE=DF => C_ECK=CK+CE+DK+BE=CD+BC

Mà CD và BC không đổi => C_ECK không đổi khi E thay đổi trên BC (đpcm). 

Ta có
góc FAD+DAE=90•
DAE+EAB=90•
-> FAD=EAB
xet tam giác AEB và tam giác ADF có
AB=AD( ABCD là hình vuông)
ABE=ADF=90•
FAD=EAB
suy ra tam giac ABE=tam giác ADF(g.c.g)
-> AF=AE

a, góc FAD + góc DAE = 90 

góc BAE  + góc DAE = 90 

=> góc FAD = góc BAE 

xét tam giác ADF và tam giác ABE có : góc ADF = góc ABE = 90

AD = AB do ABCD là hình vuông (gt)

=> tam giác ADF = tam giác ABE (cgv-gnk)

=> AF = AE (đn)

=> tam giác AFE cân tại A (đn)

góc AFE = 90 (gT)

=> tam giác AFE vuông cân (dh)

b, tam giác AFE cân tại A (câu a)

AI Là trung tuyến của tam giác AFE (gt)

=> AI _|_ FE (đl)                                                                                 (1)

EG // AB (gt)

AB // DC do ABCD là hình vuông (gT)

=> EG // FK                                    (2)

=> góc GEI = góc IFK  (slt)

xét tam giác GIE và tam giác KIF có : góc GIE = góc KIF (đối đỉnh)

FI = IE do I là trđ của FE (gt)

=> tam giác GIE = tam giác KIF (g-c-g)

=> GE = FK (3)

(2)(3) => GEFK là hình bình hành và (1)

=> GEFK là hình thoi (dh)