a) Xét t/g AME và t/g DMB có:

AM=DM (gt)

AME=DMB ( đối đỉnh)

ME=MB (gt)

Do đó, t/g AME = t/g DMB (c.g.c) (đpcm)

b) t/g AME = t/g DMB (câu a)

=> AE=BD (2 cạnh tương ứng) (1)

AEM=DBM (2 góc tương ứng)

Mà AEM và DBM là 2 góc ở vị trí so le trong nên AE // BC (2)

(1) và (2) là đpcm

c) Xét t/g AKE và t/g CKD có:

AEK=CDK (so le trong)

AE=CD ( cùng = BD)

EAK=DCK (so le trong)

Do đó, t/g AKE = t/g CKD (g.c.g) (đpcm)

d) Dễ dàng c/m t/g AMF = t/g DMC (c.g.c)

=> AF = DC (2 cạnh tương ứng)

AFM=DCM (2 góc tương ứng)

Mà AFM và DCM là 2 góc ở vị trí so le trong nên AF //BC

Lại có: AE // BC (câu b) suy ra AF trùng với AE hay A,E,F thẳng hàng (3)

Mà AF=DC=BD=AE (4)

Từ (3) và (4) => A là trung điểm của EF (đpcm)

xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AB=AC(gt); BM=CN(gt); góc ABM= góc ACN(cùng kề bù vs góc ABC)

suy ra tam giác ABM=tam giác ACN(c.g.c)

suy ra AM=AN

suy ra tam giác AMN cân tại A

b, xét tam giác ABH và tam giác ACK có: góc AHB= goác AKC =90 độ; AB=AC(gt); góc HAB= góc KAC ( do tam giác AMB= tam giác ANC)

suy ra tam giác AHB= tam giác AKC(ch-gn)

suy ra BH=CK

c, do tam giác AHB= tam giác AKC 

suy ra AH=AK

a) \(\Delta ABC\) cân tại A, có AM là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AM\) cũng là đường trung trực của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=90^0\)

Tứ giác \(AMCN\) có:

\(I\) là trung điểm của AC (gt)

\(I\) là trung điểm của MN (gt)

\(\Rightarrow AMCN\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{AMC}=90^0\)

\(\Rightarrow AMCN\) là hình chữ nhật

b) Do \(AMCN\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AN=CM\) và \(AN\) // \(CM\)

Do \(AN\) // \(CM\) (cmt)

\(\Rightarrow AN\) // \(BM\)

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(\Rightarrow BM=CM\)

Mà \(AN=CM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BM=AN\)

Tứ giác \(ABMN\) có:

\(BM\) // \(AN\) (cmt)

\(BM=AN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow ABMN\) là hình bình hành

Mà \(E\) là trung điểm của AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm của BN

a

Xét tam giác CIE và tam giác BID có: IE=ID; IC=IB và ^CIE=^BID (Đối đỉnh)

=> Tam giác CIE = Tam giác BID (c.g.c)

^ICE=^IBD (2 góc tương ứng). Mà ^ICE và ^IBD so le trong

=> CE//BD hay BD//CH. Mà BD vuông góc với AB

=> CH vuông góc với AB (Quan hệ //, vg góc) 

=> Tam giác AHC vuông tại H (đpcm).