1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)

đại khái giống Ngọc thôi, sửa 1 số lỗi 

\(P=1-2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)-2abc\)

\(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)\(\Rightarrow\)\(ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow\)\(P\le1-2a^2b-2bc^2-4abc=1-2b\left(c+a\right)^2\le1-8\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3=\frac{19}{27}\)

ta có ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc

=> a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1-2[(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc]

do đó P=2(a²b+b²c+c²a)+1-2[(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc]+4abc

=1-2(ab²+bc²+ca²)

không mất tính tổng quát giả sử a =<b=<c. suy ra

a(a-b)(b-c) >=0 => (a²-a)(b-c) >=0

=> a²b-a²c-ab²+abc >=0 => ab²+ca²=< a²b+abc

do đó ab²+bc²+ca²+abc=(ab²+ca²)+bc²+abc =< (a²b+abc)+b²c+abc=b(a+c)²

với các số dương x,y,z ta luôn có: \(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\left[\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)^2+\left(\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{z}\right)^2+\left(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{x}\right)^2\right]\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)(*)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

áp dụng bđt (*) ta có:

\(b\left(a+c\right)^2=ab\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}\right)\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

=> P=1-2(ab²+bc²+ca²+abc) >= 1-2b(a+c)² >= 1-2.4/₂₇=19/₂₇

vậy minP=19/₂₇ khi x=y=z=1/₃

@ Hai Ngox lưu ý a,b,c hoán vị nên chỉ được giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\) , với lại bài sai nhiều quá, xem lại nhé

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

có cả mấy bất đẳng thức đó hả

bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs

mk thanks

Vì \(a,b,c>0\Rightarrow a+b+c\ne0\)

Áp dụng tc dtsbn:

\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3b-2c=a\\3c-2a=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-c=2b\\3b-a=2c\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow P=\dfrac{abc}{2a\cdot2b\cdot2c}=\dfrac{1}{8}\)