a) Theo tính chất một điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều 2 đầu mút 

=> AD = AH và AH = AE

Xét tam giác BDA và tam giác BHA có :

BA chung 

BD = BH (theo tính chất nêu trên)            => tam giác BDA = tam giác BHA  (1)

AD = AH 

Xét tam giác AHC và tam giác AEC có :

AC chung 

AH = AE                                                => tam giác AHC = tam giác AEC  (2)

CH = CE (như tính chất nêu trên)

Từ (1) 

=> \(AD⊥BD\) và \(\widehat{DAB}=\widehat{HAB}\)

Từ (2) ta cũng có :

\(AE⊥CE\) và \(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)

Ta lại có :

\(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}+\widehat{EAC}=2\widehat{HAB}+2\widehat{HAC}=180^0\)

=> D , A , E thẳng hàng 

VÀ AD vuông góc với BD

     AE vuông góc với CE

MÀ AD , AE thuộc DE

=> BD // CE

b) Ta có :

\(\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\widehat{BAD}+\widehat{DBA}=90^0\)

=> \(\widehat{DBA}=\widehat{CAE}\)

Nhờ vậy , ta xét tam giác DBA và tam giác EAC có :

\(\widehat{BAD}=\widehat{ACE}\)

Xét tam giác DBA và tam giác EAC có :

\(\frac{\widehat{DBA}}{\widehat{CAE}}=1\)

\(\frac{\widehat{BAD}}{\widehat{ACE}}=1\)  

=> Tam giác DBA đồng dạng với tam giác EAC (theo trường hợp đặc biệt góc - góc)

Cậu tự vẽ hình nhá 

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên tam giác ADH cân tại A 

Tam giác ADH có AB là đường cao đồng thời là phân giác 

=> góc DAB = góc HAB 

Tương tự với tam giác AHE => góc HAC = góc EAC

Ta có : 

góc DAE = (góc DAH) + (góc HAE) = 2.(góc BAH) + 2.(góc HAC) = 2.(góc BAH + góc HAC) = 2.90 = 180

=> D,A,E thẳng hàng 

Nhận thấy 

Tam giác AHC đối xứng với tam giác AEC qua đoạn thẳng AC => góc AHC = góc AEC = 90⁰ (1)

Tương tự , ta cũng có : góc BHA = góc BDA = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : tam giác BHA đồng dạng với tam giác AHC 

Suy ra tỷ lệ \(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}\Leftrightarrow AH^2=BH.HC\)

Mà BH = BD , HC = CE

=> \(AH^2=BD.CE\)

<=> \(4AH^2=4BD.CE\)

<=> \(\left(2AH\right)^2=4BD.CE\)           (Do AD = AH = AE)

<=> \(DE^2=4BD.CE\)

Ko bít !!

= 5 cm nhá bạn yêu dấu ơi, còn cách làm thì để mình tìm cách giải thích cho, cái này mình hơi tệ , thông cảm, mình tìm cách giải thích cho bạn sau

+) Ta có: AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

=> tam giác ADH cân tại A

=> AH = AD (1)

AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

=> tam giác AEH cân tại A

=> AH = AE (2)

Từ (1) và (2) => AH = AD = AE

+) Có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm\)

AH.BC = AB.AC

=> \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}=2,4cm\)

+) Có: DE = AD + AE = AH + AH = 2AH = 2.2,4 = 4,8cm

Vậy DE = 4,8cm

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

\(\Delta\)AHB=\(\Delta\)ADB(c-c-c) thông qua việc chứng minh 2 cặp tam giác nhỏ

=>góc ADB=90(1)

\(\Delta\)AEC=\(\Delta\)AHC(c-c-c)cũng thông qua việc chứng minh 2 cặp tam giác nhỏ

=>góc CEA=90(2)

Mà:D;E;A thẳng hàng(3)

từ 1,2 và 3 suy ra BCED là hình thang

\(\Delta\)AEC đồng dạng \(\Delta\)BDA(g-g)=>BD.CE=AD.AE(1)

\(\Delta\)AIE=\(\Delta\)DKA(g-c-g)=>AE=AD=1/2DE(2)

1 và 2=>BD.CE=DE²/4