cho g là trọng tâm của tam giác abc vẽ các tia gc gy gz sao cho gx vuông góc bc gy vuông góc ac gz vuông góc ab trên các tia gx gy gz lần lượt lấy các điểm d e f sao cho gd=bc ge=ac gf=ab chung minh g là trọng tâm của tam giác def
cho g là trọng tâm của tam giác abc vẽ các tia gc gy gz sao cho gx vuông góc bc gy vuông góc ac gz vuông góc ab trên các tia gx gy gz lần lượt lấy các điểm d e f sao cho gd=bc ge=ac gf=ab chung minh g là trọng tâm của tam giác def
Cho tam giác ABC nhọn và G là điểm bất kỳ trong tam giác ABC; qua G vẽ các tia vuông góc với BC' CA' AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A', B', C' sao cho GA'/BC = GB'/AC = GC'/AB. Gọi H là điểm đối xứng A' qua G
a. CM HB' song song GC'
b. CM G là trọng tâm tam giác A'B'C'
Cho tam giác ABC nhọn và G là điểm bất kỳ trong tam giác ABC; qua G vẽ các tia vuông góc với BC' CA' AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A', B', C' sao cho GA'/BC = GB'/AC = GC'/AB. Gọi H là điểm đối xứng A' qua G
a. CM HB' song song GC'
b. CM G là trọng tâm tam giác A'B'C'
Cho tam giác ABC nhọn và G là điểm bất kỳ trong tam giác ABC; qua G vẽ các tia vuông góc với BC' CA' AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A', B', C' sao cho GA'/BC = GB'/AC = GC'/AB. Gọi H là điểm đối xứng A' qua G
a. CM HB' song song GC'
b. CM G là trọng tâm tam giác A'B'C'
Từ điểm M nằm trong tam giác ABC vẽ MDvuông góc BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F. Trên các tia MD,ME,MF, lằn lượt lấy các điềm I,K,L sao cho MI/BC=MK/AC=MI/AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác I,K,L
Cho tam giác ABC, trọng tâm G. D,E,F lần lượt là hình chiếu của G trên BC,CA,AB. Gọi M,N,P trên tia GD,GE,GF sao cho GM=BC, GN=AC, GP=AB. Chứng minh G là trọng tâm tam giác MNP
Từ điểm G trong tam giác ABC lần lượt kẻ các đường vuông góc với BC, CA, AB tại D, E, F trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho \(\frac{GA_1}{BC}=\frac{GB_1}{CA}=\frac{GC_1}{AB}\). CM G là trọng tâm của tam giác A1B1C1
Cho tam giác ABC đều . Trên cạnh BC lấy điểm D , sao cho BD = 1/3 BA , qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC ở E , qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở F .
a) Chứng minh : DF vuông góc AC
b) Chứng minh : Tam giác DEF đều
c) Trên tia đối của các tia DE , FD , EF lần lượt lấy các điểm P , M ,N sao cho DF=FM=EN . Tam giác MNP là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Chứng minh rằng : Tam giác ABC , tam giác DEF và tam giác MPN có chung trọng tâm
Cho tam giác ABC đều . Trên cạnh BA lấy điểm D , sao cho BD = 1/3 BA , qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC ở E , qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở F .
a) Chứng minh : DF vuông góc AC
b) Chứng minh : Tam giác DEF đều
c) Trên tia đối của các tia DE , FD , EF lần lượt lấy các điểm P , M ,N sao cho DF=FM=EN . Tam giác MNP là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Chứng minh rằng : Tam giác ABC , tam giác DEF và tam giác MPN có chung trọng tâm
Ta có: \(\Delta\)ABC đều, D\(\in\)AB, DE\(\perp\)AB, E\(\in\)BC
=> \(\Delta\)BDE có các góc với số đo lần lượt là: 300; 600; 900 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)CEF: ^BDE=^CEF=900; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)AFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600; BD=AF => \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)AFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900 =>DF\(\perp\)AC (đpcm).
b) Ta có: \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)AFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)DEF đều (đpcm).
c) \(\Delta\)DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> \(\Delta\)PDM=\(\Delta\)MFN=\(\Delta\)NEP (c.g.c) => PM=MN=NP => \(\Delta\)MNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của \(\Delta\)ABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm \(\Delta\)ABC (1)
Do \(\Delta\)ABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)OAF; \(\Delta\)OBD và \(\Delta\)OCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => \(\Delta\)OAF=\(\Delta\)OBD=\(\Delta\)OCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực \(\Delta\)DEF hay O là trọng tâm \(\Delta\)DEF (2)
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)ODP; \(\Delta\)OEN; \(\Delta\)OFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => \(\Delta\)ODP=\(\Delta\)OEN=\(\Delta\)OFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của \(\Delta\)MNP
hay O là trọng tâm \(\Delta\)MNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => \(\Delta\)ABC; \(\Delta\)DEF và \(\Delta\)MNP có chung trọng tâm (đpcm).
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300 ; 600 ; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE
=> AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900 ; BD=CE; ^DBE=^ECF=600 => ΔBDE=ΔCEF (g.c.g)
=> BE=CF
=> BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600 ; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c) => ^BDE=^AFD=900 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt)
=> DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt)
=> DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP
=> DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600
=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác
=> ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
=> OA=OB=OC
Xét 3 tam giác:
ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE: AF=BD=CE ^OAF=^OBD=^OCE
=> ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c) OA=OB=OC => OF=OD=OE
=> O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đều) Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM: OD=OE=OF ^ODP=^OEN=^OFM
=> ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c) OD=OE=OF (Tự c/m) => OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng)
=> O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
=>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
(Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).