\(BPT\Leftrightarrow x\sqrt[3]{25x\left(2x^2+9\right)}\le4x^2+3\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{25x^4\left(2x^2+9\right)}\le4x^2+3\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\sqrt[3]{5x^2\cdot5x^2\left(2x^2+9\right)}\le\dfrac{5x^2+5x^2+2x^2+9}{3}=\dfrac{12x^2+9}{3}=4x^2+3\)

Vậy \(\left(1\right)\) luôn đúng

Dấu \("="\Leftrightarrow5x^2=2x^2+9\Leftrightarrow x^2=3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(m\left(x-m\right)\le4x+5.\left(1\right)\\ \Leftrightarrow mx-m^2-4x-5\le0.\\ \Leftrightarrow\left(m-4\right)x\le5+m^2.\circledast\)

+) Nếu \(m-4>0.\Leftrightarrow m>4.\)

Khi \(\circledast\) có nghiệm: \(x\le\dfrac{5+m^2}{m-4}.\)

+) Nếu \(m-4< 0.\Leftrightarrow m< 4.\)

Khi \(\circledast\) có nghiệm: \(x\ge\dfrac{5+m^2}{m-4}.\)

+) Nếu \(m-4=0.\) \(\Leftrightarrow m=4.\)

Thay vào \(\circledast\) ta có: 

\(0x\le5+4^2.\Leftrightarrow0x\le21\) (vô lý).

Kết luận: 

Với \(m>4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \((-\infty;\dfrac{5+m^2}{m-4}].\)

Với \(m< 4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \([\dfrac{5+m^2}{m-4};+\infty).\)

Với \(m=4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \(\phi.\)

\(a,f'\left(x\right)=3x^2-6x\\ f'\left(x\right)\le0\Leftrightarrow3x^2-6x\le0\\ \Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow0\le x\le2\)

Lời giải:

a. $f'(x)\leq 0$

$\Leftrightarrow 3x^2-6x\leq 0$

$\Leftrightarrow x(x-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$

b.

$f'(x)=x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow 3x^2-6x=x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow 3x(x-2)=(x-1)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2$

c.

$g(x)=f(1-2x)+x^2-x+2022$

$g'(x)=(1-2x)'f(1-2x)'_{1-2x}+2x-1$

$=-2[3(1-2x)^2-6(1-2x)]+2x-1$
$=-24x^2+2x+5$

$g'(x)\geq 0$

$\Leftrightarrow -24x^2+2x+5\geq 0$

$\Leftrightarrow (5-12x)(2x-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-5}{12}\leq x\leq \frac{1}{2}$

1.

$2(-2x+1)\leq -x+3$

$\Leftrightarrow -4x+2\leq -x+3$

$\Leftrightarrow -1\leq 3x$

$\Leftrightarrow x\geq \frac{-1}{3}$ 

2.

$2(x+1)\leq  -x+3$

$\Leftrightarrow 2x+2\leq -x+3$

$\Leftrightarrow 3x\leq 1$

$\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{3}$

3.

$5-3(x-1)>2$

$\Leftrightarrow 5-(3x-3)>2$

$\Leftrightarrow 8-3x>2$

$\Leftrightarrow 8-3x-2>0$

$\Leftrightarrow 6-3x>0$

$\Leftrightarrow 6>3x$

$\Leftrightarrow x< 2$

4.

$x^2-12x+3-(x-3)^2>0$

$\Leftrightarrow x^2-12x+3-(x^2-6x+9)>0$

$\Leftrightarrow -6x-6>0$

$\Leftrightarrow -6>6x$

$\Leftrightarrow x< -1$

1: Ta có: \(2\left(-2x+1\right)\le-x+3\)

\(\Leftrightarrow-4x+x\le3-2=1\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{1}{3}\)

3: Ta có: \(5-3\left(x-1\right)>2\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)< 3\)

\(\Leftrightarrow x-1< 1\)

hay x<2

Vế phải đâu?

Vì $3x^2-x+1>0,x^2+1>0$

$\to \begin{cases}x^2 \geq 4\x<-1\\\end{cases}$

$\to \begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x \geq 2\\x \leq -2\end{array} \right.\\x<-1\\\end{cases}$

$\to x \leq -2$

Vậy tập xác định của phương trình là `(-oo,-2]`