ko btttttttttttttttttttttttttttttt

vì tg ABC cân tại A
=> AM là đường phân giác 
=>góc BAG = góc CAG (t/c đường phân giác ) 
xét tam giác ABG và tam giác AGC có 
góc BAG = góc CAG (cmt) 
AG : chung 
AB = AC( gt ) 
=> tg AGB = tg AGC( C-G-C ) 

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

(Tự vẽ hình)

a)

Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABC cân tại A

=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABG và ΔACG có:

AB = AC(cmt)

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)

AG chung

=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)

b)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> GM // IC

Xét ΔBIG có M là trung điểm BC

Mà GM//IC

=> GM là đường trung bình của ΔBIC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Có AG//IC(cmt)

=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)

Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC

Mà AM cắt BN tại G

Nên G là trọng tâm ΔABC

=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM

=>AG = 2.GM

Mà IC = 2.GM(cm câu b)

=> AG = IC

Xét ΔGAC và ΔICA có:

AG = IC(cmt)

\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

AN = NC(BN là đường trung tuyến)

=> ΔGAC = ΔICA(gcg)

=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)

Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG

=> AI = BG(1)

Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)

=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)

=> \(\widehat{AGB}>90^0\)

=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG

=> AB>BG(2)

Từ (1) và (2) => AB > AI

=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)

Đề bài thiếu, dữ liệu chỉ có thế này thì không đủ để tính BC

Hình như sai đề á bn

Bạn đọc bài trên ấy :)

ko biết

+)Xét tam giác ABC vuông tại A

 \( \implies\)\(AB^2+AC^2=BC^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

\( \implies\) \(c^2+b^2=BC^2\)

\( \implies\) \(BC=\sqrt{b^2+c^2}\) 

+)Ta có : \(AD=\frac{1}{2}BC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )

 \( \implies\) \(AD=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2+c^2}\)

\( \implies\) \(AD=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\)

+)Xét tam giác BAE vuông tại A 

\( \implies\) \(BE^2=AB^2+AE^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

\( \implies\) \(BE^2=c^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\)

\( \implies\) \(BE^2=c^2+\frac{b^2}{4}\)

\( \implies\) \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)

+)Xét tam giác ABC có :

Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G 

 \( \implies\) G là trọng tâm của tam giác ABC

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}BE\)

Mà \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\) 

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)

\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{\frac{4c^2+b^2}{4}}\)

\( \implies\)  \(BG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}\)

\( \implies\) \(BG=\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\)

+) \(AD=\frac{1}{2}BC=BD=DC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )

+)G là trọng tâm của tam giác ABC 

\( \implies\) \(GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\) 

+)Để AD vuông góc với BE thì tam giác BGD là tam giác vuông tại G

\( \implies\) \(BG^2+GD^2=BD^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )

 \( \implies\) \(\left(\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\right)^2\)

\( \implies\) \(\frac{4c^2+b^2}{9}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{b^2+c^2}{4}\)

\( \implies\)  \(\frac{4\left(4c^2+b^2\right)}{36}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{36}\)

\( \implies\) \(16c^2+4b^2+b^2+c^2=9b^2+9c^2\)

\( \implies\) \(17c^2+5b^2=9b^2+9c^2\)

\( \implies\) \(8c^2=4b^2\)

\( \implies\) \(2c^2=b^2\)

\( \implies\) \(b=\sqrt{2c^2}\)

\( \implies\) \(b=\sqrt{2}c\) 

Vậy để AD vuông góc với BE thì : \(b=\sqrt{2}c\)