Đề sai rồi bạn ơi : 

     \(\frac{5^2+6^2}{2}< \frac{\left(5+6\right)^2}{2}\)

Bạn xem lại đề đi.....

Áp dụng BĐT Cô-si a²+b²>=2ab, ta đc:

x^2+y^2>=2.x.y=2xy

x^2+1>=2.x.1=2x

y^2+1>=2.y.1=2y

Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y

(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)

(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.

Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y

   <=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y)     (*nhân 2 vào cả 2 vế)

    <=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y

   <=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0

    <=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0

<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0

+ Với x,y thì  (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên) 

Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

Câu a) 

Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b

Nên a² + b² \(\ge\) (1 - b)² + b² = 2b² - 2b + 1 = 2(b² - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)² + 1 \(\ge\) 1

Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(x + y)² = (1.x + 1.y)² \(\le\) (1² + 1²)(x² + y²) = 2.1 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

câu1 : cần sửa lại là A²  + B² \(\ge\frac{1}{2}\)

Ta chứng minh được : (A+B)² \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)

<=> A²  + B²  + 2A.B \(\le\) 2. (A²  + B²)

<=> 0 \(\le\) A²  + B²  - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)² luôn đúng => (*) đúng

b) Áp sung câu a => (x+y)² \(\le\)2.(x² + y²) = 2 => đpcm

\(x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge0\)

Bat ddang thuc cuoiđung,cac phep biendddooii tren la tuong dduong nen BĐT cuoi ddung =>đpcm

xay ra--ddang--thuc khi x=y=1

\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\)

\(=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2+\left(3-z\right)^2\)

\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)

\(=9+x^2+y^2+z^2\)

Dễ dàng CM được \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

=>\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\ge12\)

=> dpcm

Ta có: \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\)

\(=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2\)(1)

Mà \(x+y+z=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3-z\\y+z=3-x\\x+z=3-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)=\left(3-z\right)^2+\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)

\(=9-6z+z^2+9-6x+x^2+9-6y+y^2\)

\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)

\(=9+x^2+y^2+z^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:

\(x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\frac{3^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow9+x^2+y^2+z^2\ge12\)

hay \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\ge12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\ge6\left(đpcm\right)\)

1/

Xét hiệu $(x+1)^2-4x^2=(x+1)^2-(2x)^2=(x+1-2x)(x+1+2x)$

$=(1-x)(3x+1)$
Do $x\in (0;1)$ nên $1-x>0; 3x+1>0$

$\Rightarrow (x+1)^2-4x^2>0\Rightarrow (x+1)^2> 4x^2$

2/

Xét hiệu:

$(1+x+y)^2-4(x^2+y^2)=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy-4x^2-4y^2$

$=1+2x+2y+2xy-3x^2-3y^2$

$=2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2$
Vì $x,y\in (0;1)$ nên: 

$2x(1-x)>0$

$2y(1-y)>0$

$(x-1)(y-1)>0\Rightarrow xy+1> x+y=x.1+y.1> x^2+y^2$

$\Rightarrow 1+xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow 1+2xy-x^2-y^2>0$

Suy ra: $2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2>0$

$\Rightarrow (1+x+y)^2> 4(x^2+y^2)$

a/ a² + b² + c² \(\ge\)ab + bc + ca

<=> 2(a² + b² + c²⁾ \(\ge\)2(ab + bc + ca)

<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a² \(\ge0\)

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² \(\ge0\) (đúng)

=> ĐPCM

b/ a² + b² + c² \(\ge\) 2ab - 2ac + 2bc

<=> a² + b² + c² + 2( - ab + ac - bc)\(\ge\) 0

<=> (a - b + c)² \(\ge0\)(đúng)

=> ĐPCM