\(\dfrac{2n}{n^2+1}\) nguyên thì 2n chia hết cho n^2+1

=>4n^2chia hết cho n^2+1

=>4n^2+4-4 chia hết cho n^2+1

=>\(n^2+1\in\left\{1;2;4\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Ta có:

\(VT=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)}\left(1\right)\)

\(VP=\frac{\left(n^2+n+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left[n\left(n+1\right)\right]}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left(n^2+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2n^2+2n}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+2n+1+2n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

=>đpcm

Vì \(\sqrt{x}\)là một số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\)là một phân số tối giản)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\)và theo đề bài \(\frac{a}{b}\ne0\Rightarrow\frac{a}{b}\ge0\)

\(\Rightarrow a,b\)là những số nguyên dương (1)

Vì \(\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\Rightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Rightarrow x=\frac{a^2}{b^2}\)(2)

Vì \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản

\(\Rightarrow a,b\)là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\)ƯCLN(a,b)=1

Vì \(a^2\) có Ư(a), \(b^2\)có Ư(b)

\(\Rightarrow a^2,b^2\) là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\)ƯCLN(\(a^2,b^2\))=1

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}\) là phân số tối giản (3)

Từ (1), (2) và (3)

=>đpcm

a: Để A là phân số thì n-3<>0

hay n<>3

b: Để A là số nguyên thì \(n-3+4⋮n-3\)

\(\Leftrightarrow n-3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

hay \(n\in\left\{4;2;5;1;7;-1\right\}\)

c: Thay x=-1/2 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+1}{-\dfrac{1}{2}-3}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{-7}{2}=-\dfrac{1}{7}\)

1/a,

-Ta có: 

$B<1\Leftrightarrow B<\frac{10^{2005}+1+9}{10^{2006}+1+9}=\frac{10^{2005}+10}{10^{2006}+10}=\frac{10(10^{2004}+1)}{10(10^{2005}+1)}=\frac{10^{2004}+1}{10^{2005}+1}=A$

-Vậy: B<A

b,$A=1+(\frac{1}{2})^2+...+(\frac{1}{100})^2$

$\Leftrightarrow A=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{100^2}$

$\Leftrightarrow A<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}$

$\Leftrightarrow A<1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$\Leftrightarrow A<1+1-\frac{1}{100}\Leftrightarrow A<2-\frac{1}{100}\Leftrightarrow A<2(đpcm)$
2,
a.
-Ta có:$\Rightarrow \frac{3x+7}{x-1}=\frac{3(x-1)+16}{x-1}=\frac{3(x-1)}{x-1}+\frac{16}{x-1}=3+\frac{16}{x-1}
-Để: 3x+7/x-1 nguyên
-Thì: $\frac{16}{x-1}$ nguyên
$\Rightarrow 16\vdots x-1\Leftrightarrow x-1\in Ư(16)\Leftrightarrow ....$
b, -Ta có:
$\frac{n-2}{n+5}=\frac{n+5-7}{n+5}=1-\frac{7}{n+5}$
-Để: n-2/n+5 nguyên
-Thì: \frac{7}{n+5} nguyên
$\Leftrightarrow 7\vdots n+5\Leftrightarrow n+5\in Ư(7)\Leftrightarrow ...$

phân số nên mik k viết đc

+)\(f\left(0\right)=c\), \(f\left(0\right)\)nguyên nên suy ra c nguyên

+) \(f\left(1\right)=a+b+c\);  \(f\left(1\right),c\)nguyên  nên suy ra a+b nguyên

+) \(f\left(2\right)=4a+2b+c\); \(f\left(2\right),c,a+b\)nguyên nên  suy ra 2a nguyên => 2b nguyên

Ta có: \(f\left(5\right)=25a+5b+c=10.2.a+5\left(a+b\right)+c\)

Vì 2a, a+b, c nguyên 

=> \(f\left(5\right)\)nguyên

\(f\left(6\right)=36a+6b+c=15.2.a+6\left(a+b\right)+c\)nguyên

\(f\left(7\right)=49a+7b+c=21.2a+7\left(a+b\right)+c\)nguyên

Câu hỏi của nguyễn phạm khánh linh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath'

Em tham khảo nhá

Em cảm ơn