vì tổng của các chữ số của tổng các chữ số của số đó không chia hết cho 9 suy ra nó không pải là số chính phương

Ta thấy có chữ số cuối cùng trong tổng là 5

5 chia hết cho 5

5² = 25

Vì có hai chữ số tận cùng là 15 không chia hết cho 25

=> Số tự nhiên có tổng các chữ số là 20 142 015 không phải số chính phương

Một số Cp nếu chia hết cho 3 thì nó phải chia hết cho 9

ta có 20142015 có tổng chia hết cho 3 những không chia hết cho 9=> nó không thể là Cp

a/ Ta có: `2a = 3b => a/3 = b/2`

Đặt `a/3 = b/2 = k`   \(\left(k\ne0\right)\)

`=> a = 3k ; b = 2k`

`=> M =`\(\dfrac{\left(3k\right)^3-2.3k.\left(2k\right)^2+\left(2k\right)^3}{\left(3k\right)^2.2k+3k.\left(2k\right)^2+\left(2k\right)^3}=\dfrac{27k^3-24k^3+8k^3}{18k^3+12k^3+8k^3}=\dfrac{11k^3}{38k^3}=\dfrac{11}{38}\)

Vậy `M = 11/38`.

b/ Giả sử tồn tại số chính phương `a^2` có tổng các số tự nhiên là 20142015

Vì \(20142015⋮3\) nên \(a^2⋮3\)

\(\Rightarrow a^2⋮3^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮9\)

Mà \(20142015⋮9̸\Rightarrow a^2⋮9̸\) (vô lí)

`=>` Không tồn tại số chính phương `a^2` nào có tổng các số tự nhiên là 20142015

\(\Rightarrow\) 1 số tự nhiên có tổng các chữ số là `20142015` không phải là số chính phương   (đpcm)

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .... + (x + 2013) = 20132014 

(x + x + x + ... + x) + (1 + 2 + 3 + ... + 2013) = 20132014 

2013x + 2027091 = 20132014 

2013x = 20132014 - 2027091

2013x = 18104923

=> x =8994,000497

nếu a,b,c là số tự nhiên thì vế trái là 1 số chia hết cho 3, vế phải là số không chia hết cho 3, do đó ko có 3 số tự nhiên a,b,c nào thỏa mãn được điều kiện trên.

 a) Ta thấy \(999993^{1999}⋮̸5\) và \(55555^{1997}⋮5\) nên \(999993^{1999}-55555^{1997}⋮̸5\), mâu thuẫn đề bài.

 b) 

Ta có \(17^{25}=17^{4.6+1}=17.\left(17^4\right)^6=17.\overline{A1}=\overline{B7}\) có chữ số tận cùng là 7. \(13^{21}=13^{4.5+1}=13.\left(13^4\right)^5=13.\overline{C1}=\overline{D3}\) có chữ số tận cùng là 3. \(24^4=4^4.6^4=\overline{E6}.\overline{F6}=\overline{G6}\) có chữ số tận cùng là 6 nên \(17^{25}-13^{21}+24^4\) có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của \(7-3+6=10\) hay là 0. Vậy \(17^{25}-13^{21}+24^4⋮10\)

c) Cách làm tương tự câu b.