Ta có:

+) \(\left(2n^2+n+2\right)^2=4n^4+4n^3+9n^2+4n+4>4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)

     Giải thích: \(3n^2+n+2>0\forall n\inℤ\)

+)\(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2>4n^4+4n^3+5n^2+2n+1=\left(2n^2+n+1\right)^2\)

     Giải thích: \(n^2+n+1>0\forall n\inℤ\)

Ta thấy \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp nên không thể là số chính phương

làm sao bạn tìm ra hai bình phương kẹp A ở giữa thế bạn, chỉ mik với?

Giả sử \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\) là một số chính phương

Đặt A²=\(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\)

Ta có \(A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+5n^2+2n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(4n^4+n^2+1+4n^3+4n^2+2n\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(2n^2+n+1\right)^2+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(n^2+n+1>0\)

Vậy \(A^2>\left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A>2n^2+n+1\left(1\right)\)

Ta có \(A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+9n^2+4n+4\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(4n^4+n^2+4+4n^3+8n^2+4n\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(2n^2+n+2\right)^2-\left(3n^2+n+2\right)\)

Ta có \(3n^2+n+2>0\)

Vậy \(A^2< \left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A< 2n^2+n+1\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Leftrightarrow2n^2+n+1< A< 2n^2+n+2\)(vô lý với n\(\in Z\))

Vậy trái với giả sử

Vậy \(4n^4+4n^3+6n^2+3n+2\) không là số chính phương với \(n\in Z\)

a; Gọi UCLN(3n-2; 4n-3)= d (d thuộc N sao)

=> 4n-3-(3n-2) chia hết cho d <=> 1 chia hết cho d=> d=1 => UCLN của 3n-2 và 4n-3 là 1

=> 3n-2/4n-3 là phân số tối giản

b tương tự (nhân 6 vs tử, nhân 4 vs mẫu rồi trừ)

a) Gọi d là ƯCLN(3n - 2, 4n - 3), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(3n-2\right)⋮d\\3\left(4n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12n-8⋮d\\12n-9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(3n-2,4n-3\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{3n-2}{4n-3}\) là phân số tối giản.

b) Gọi d là ƯCLN(4n + 1, 6n + 1), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(12n+3\right)-\left(12n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(4n+1,6n+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{4n+1}{6n+1}\) là phân số tối giản.

mk thấy ns cứ sao sao í\

a: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: 2n+3 và 3n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau