xét 2 biểu thức: \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
\(Q=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
cmr: nếu P=1 thì Q=0
Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) = 0
1. Chứng minh \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\ge1\)
2. Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{zx}{z+x}\)
Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.\)CMR biểu thức sau luôn âm với mọi x với x,y,z khác 0
\(A=\left(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}-\frac{1}{z^2}\right)\left(\frac{x^2+z^2}{x^2z^2}-\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}-\frac{1}{x^2}\right)\)
Cho \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=\)0 ( x + y + z \(\ne\)0 )
CMR : \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Cho 3 số x; y; z khác 0 thỏa mãn: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1\)
Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Cho \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\) .CMR : \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1.\)
CMR nếu \(x,y,z\) là các số dương thì \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z\ge\frac{x+y+z}{2}+x+y+z\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+y\left(\frac{y}{x+z}+1\right)+z\left(\frac{z}{x+y}+1\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x+y+z}{y+z}\right)+y\left(\frac{y+x+z}{x+z}\right)+z\left(\frac{z+x+y}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (Theo BĐT Nesbitt )
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (đpcm)
Cho \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+x}=\)0 ( x + y + z \(\ne\)0 )
CMR : \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
Ta có
\(x+y+z+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(x+\frac{x^2}{y+z}+y+\frac{y^2}{z+x}+z+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}=1\)
\(x+y+z=1,\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1\)
tính giá trị của biểu thức A=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Xét các số thực dương x; y; z thay đổi sao cho \(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)=0\)
1, Chứng minh rằng \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\ge1\)
2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{zx}{z+x}\)
1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)
mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
=>\(x+y+z=< 3\)
ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy schwarz)