đặt \(NTCT=\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\)

\(\Rightarrow3NTCT=\frac{3y}{x+3y}+\frac{3z}{y+3z}+\frac{3x}{z+3x}\)

\(=3-\left(\frac{x}{x+3y}+\frac{y}{y+3z}+\frac{z}{z+3x}\right)=3-\left(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\right)\)

lại có:

\(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow3NTCT\le3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow NTCT\le\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi x=y=z

Vũ Thu Mai bn tham khảo nhé. Tham khảo thôi nha:

 áp dụng cosi 3 số ko âm: 
1.1.³√(x+3y) ≤ (1+1+x+3y)\3 
1.1 ³√(y+3z) ≤ (1+1+y+3z)\3 
1.1.³√(z+3x) ≤ (1+1+z+3x)\3 
cộng vế vế ta đc 
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+4(x+y+z))\3 
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+3)\3 = 3 
dấu = xảy ra khi: 
1 = ³√(x+3y) = ³√(y+3z) = ³√(z+3x) 
=> x=y=z=1/4

ban Công Thành sd bdt gì vậy?

\(BDT\Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}-\frac{y}{x+3y}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{z}{y+3z}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{x}{z+3x}\right)\ge\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{3\left(x+3y\right)}+\frac{y}{3\left(y+3z\right)}+\frac{z}{3\left(z+3x\right)}\ge\frac{1}{4}\left(1\right)\)

Cần cm (1) đúng. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3xz\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left[\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+xz\right]}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\frac{1}{4}\)

Suy ra (1) đúng BĐT đầu dc cm

Phải lớn hơn 3/4 mới đc chứ

Áp dụng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+z+y+z}\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

I don't now

...............

.................

.

haizzzzzzzzzzzzz

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\) ta có: 

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(16\left(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\right)\)

\(\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)=4\cdot12=48\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\le3\)

các bạn có thể giúp mình giải bài toán này  bằng bất đẳng thức \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :

\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :

\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)

\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

ta có 3x + yz = x² + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

hi minh ket ban nhe

m.imgur.com/a/ls9dmpn

Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((

Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!

1.

Có: \(\frac{4x-5y}{7}=\frac{5z-3x}{9}=\frac{3y-4z}{11}\\ \Leftrightarrow\frac{7}{7}.\left(\frac{4x-5y}{7}\right)=\frac{9}{9}.\left(\frac{5z-3x}{9}\right)=\frac{11}{11}.\left(\frac{3y-4z}{11}\right)\\ \Leftrightarrow\frac{28x-35y}{49}=\frac{45z-27x}{81}=\frac{33y-44z}{121}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{28x-35y}{49}=\frac{45z-27x}{81}=\frac{33y-44z}{121}=\frac{28x-35y+45z-27x+33y-44z}{49+81+121}\)

tính ra nó đc x+ 2y +z ko đc tròn cho lắm..... mệt r tự nghĩ tiếp đi

1.

Ta có: \(\frac{4x-5y}{7}=\frac{5z-3x}{9}=\frac{3y-4z}{11}.\)

\(\Rightarrow\frac{7.\left(4x-5y\right)}{49}=\frac{9.\left(5z-3x\right)}{81}=\frac{11.\left(3y-4z\right)}{121}\)

\(\Rightarrow\frac{28x-35y}{49}=\frac{45z-27x}{81}=\frac{33y-44z}{121}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{28x-35y}{49}=\frac{45z-27x}{81}=\frac{33y-44z}{121}=\frac{28x-35y+45z-27x+33y-44z}{49+81+121}=\frac{\left(28x-27x\right)-\left(35y-33y\right)+\left(45z-44z\right)}{251}=\frac{x-2y+z}{251}.\)

Đoạn này chịu rồi.