Từ trực tâm H kẻ HD//AB, HE//AC (E thuộc AB, D thuộc AC)

HE//AC. Mà BH vuông góc với AC => BH vuông góc với HE (Quan hệ song song vuông góc)

=> HB<EB (Quan hệ đường xiên, đường vuông góc) (1)

HE//AD, HD//AE => HE=AD, HD=AE (Tính chất đoạn chắn)

Ta có: HA<AD+HD (BĐT tam giác). Thay HD=AE vào biểu thức bên: HA<AD+AE (2)

Tương tự: HD//AB, CH vuông góc với AB => CH vuông góc với HD

=> HC<DC (Đường xiên, đường vuông góc) (3)

Từ (1), (2) và (3) => HA+HB+HC<EB+AD+AE+DC => HA+HB+HC<(EB+AE)+(AD+DC)

                           => HA+HB+HC<AB+AC.  (4)

Tương tự bạn giải ra: HA+HB+HC<AB+BC   (5) 

                                HA+HB+HC<AC+BC   (6)

Từ (4),(5) và (6) => 3(HA+HB+HC)<(AB+AC)+(AB+BC)+(AC+BC) (Cộng vế với vế)

                       => 3(HA+HB+HC)<2AB+2AC+2BC => 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

                        hay 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC) (đpcm) 

**** nha!!!

Vì AB+AC+BC > HA+HB+HC

mà 2(AB+AC+BC) >4(HA+HB+HC)

=> 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC)

1. Xét tam giác AHC có : AHC = 90 độ 

=> AC > AH ( AC là cạnh huyền ) 

2. Xét tam giác AHB có : AHB = 90 độ 

=> AB > AH ( AB là cạnh huyền ) 

Tham khảo nha .

Vẽ  HD // AC . và HE // AB 

Ta có : \(HD//AC\)

và \(BH\perp AC\)( vì H là trực tâm của tam giác ABC )

\(\Rightarrow HD\perp BH\)

\(\Rightarrow DB>BH\)

( Cạnh đối diện với góc vuông)

Chứng minh tương tự như trên ta có :

\(EC//DH\)

\(\Rightarrow CH\perp AB\)

\(\Rightarrow CH\perp CE\)

\(\Rightarrow EC>CH\)(Cạnh đối góc vuông)

Mặt khác ta có :

\(HD//AE\)

\(HE//DA\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHD là hình bình hành 

\(\Rightarrow AD=HE\)

Xét tam giác AEH có :

\(HE+AE>AH\)

\(\Rightarrow AD+AE>AH\)

\(\Leftrightarrow AB+AC=AD+DB+AE+EC\)

\(=\left(AD+AE\right)+DB+EC>AH+BH+CH\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(AB+BC>AH+BH+CH\)

\(AC+BC>AH+BH+CH\)

Do đó : \(2\left(AB+BC+AC\right)>3\left(AH+BH+CH\right)\)

\(\Rightarrow AB+BC+AC>\frac{3}{2}\left(AH+BH+CH\right)\)(đpcm)