Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm BC, O là tâm đường tròn nội tiếp,I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, gọi D và E tương ứng là hình chiếu của O và I trên BC . CMR
a) M là trung điểm DE
b) đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD
Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, Ia là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và M là trung điểm của BC. Gọi H và D là hình chiếu của I, Ia trên cạnh BC. Chứng minh rằng M là trung điểm của HD, từ đó suy ra đường thẳng MI đi qua trung điểm AH.
Cho tam giác abc có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm d d khác B phẩy C sao cho đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cung nhỏ AC tại đường tròn tâm O tại M Gọi E là hình chiếu của M trên AC
a Chứng minh tứ giác CDME nội tiếp đường tròn
b/chứng minh MA x MB = MB x ME
C/Gọi i k lần lượt là trung điểm của AB và de chứng minh EK vuông góc với MK
a, Xét tứ giác CDME có
^MEC = ^MDC = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MC
Vậy tứ giác CDME là tứ giác nt 1 đường tròn
b, bạn ktra lại đề
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên bán kính OA, lấy điểm C tùy ý (C khác O và A). Vẽ đường tròn tâm J đường kính AC. Gọi I là trung điểm BC. Qua I vẽ dây cung MN vuông góc BC; AM cắt đường tròn tâm J tại E.
a/ CM CIME nội tiếp.
b/ CM BMCN là hình thoi. Từ đó suy ra ba điểm E, C, N cùng thuộc một đường thẳng.
c/ CM IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm J.
d/ Đường tròn tâm M bán kính MI cắt đường tròn tâm O tại P và Q, Gọi H là giao điểm của PQ và MN. Tính tỉ số HM/HN
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.
AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.
1). Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)
2). Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy.
1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do H E ∥ B C ⊥ H A ), nên tứ giác APEH nội tiếp.
Ta có A P H ^ = A E H ^ (góc nội tiếp)
= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)
⇒ P H ≡ P B
2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^
Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF
Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF
Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.
Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B
Tương tự F I ∥ H C ; E F ∥ B C ⇒ Δ I E F v à Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cung nhỏ AC tại đường tròn tâm (O) tại M. Gọi E là hình chiếu của M trên AC.
a) Chứng minh tứ giác CDEM nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh: MA.MD=MB.ME.
a: góc CDM=góc CEM=90 độ
=>CDEM nội tiếp
b: Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có
góc EMA chung
=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB
=>ME/MD=MA/MB
=>ME*MB=MA*MD
a. góc CDM=góc CEM=90 độ
=>CDEM nội tiếp
b. Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có
góc EMA chung
=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB
=>ME/MD=MA/MB
=>ME*MB=MA*MD
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. AI cắt đường tâm O tại M. E là trung điểm của BC. ME cắt đường tròn tâm O tại N. Chứng minh góc BEI = góc ANI
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác
a, Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O; IO) vói O là trung điểm của đoạn thẳng IK
b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
c, Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tính bán kính của (O)
a, Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 điểm ta có:
I B K ^ = I C K ^ = 90 0
=> B, C, I, K ∈ đường tròn tâm O đường kính IK
b, Chứng minh
I
C
A
^
=
O
C
K
^
từ đó chứng minh được
O
C
A
^
=
90
0
Vậy AC là tiếp tuyến của (O)
c, Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC => AH=16cm. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COA => OH=9cm,OC=15cm
a) CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.
Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên ∠ICK=90
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: ∠IBK=90
Xét tứ giác BICK ta có: ∠IBK+∠ICK=90+90=180
⇒BICK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180)
Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.
b) CMR: AC là tiếp tuyến của (O).
Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : ∠OIC=∠OCI.
Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :
∠OIC=∠IAC+∠ACI=1/2∠BAC+1/2∠ACB=1/2∠BAC+1/2∠ABC
⇒∠ICO+∠ICA=1/2∠BAC+1/2∠ABC+1/2∠ACB=12.180=90 ⇒OC⊥CA.
Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).
c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.
Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.
Ta có ngay :
S = S′−S (ICKB) =π.IO2−S (IBK)−S (IKC)
= π.IK2/4 −(BM.IK)/2−(CM.IK)/2
=πIK2/4 − (BC.IK)/2
Ta có :
S (ABC) = 1/2 (AM.BC) = (AB+BC+CA) /2 .IM
⇔√(AB2−BM2 ) .24 = (AB+BC+CA).IM
⇔√[202−(24/2)2 ]. 24= (20.2+24).IM⇔IM=6.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác IBM vuông tại B có đường cao BM ta có :
BM2=IM.MK ⇔MK=BM2/IM=122/6=24
⇒IM=IM+MK=6+24=30.
⇒S= 1/4(π.IK2)−1/2 BC.IK =1/4 π.302 −1/2(24.30 ) =225π−360 ≈346,86 (dvdt)
Cho tứ giác ABCD nôị tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. GỌi I là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên AD và M là trung điểm của đoạn Di.
GỌi P là giao điểm của BC và HM. Chứng minh rằng: TỨ giác BCMH nội tiếp đường tròn
giúp mk vs!!
1.Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC của đường tròn tâm O( B,C là các tiếp điểm), BD là đường kính của đường tròn tâm O, AD cắt đường tròn tâm O tại E.
a)CM: AB2=AD.AE.
b)Gọi H là giao điểm của OA với BC. CMR: HC là phân giác của góc EHD.
2.Cho hình thang ABCD, trên cạnh BC lấy E sao cho BE=BC/3, trên tia đối của tia CD lấy lấy F sao cho CF=BC/2. Gọi M là giao điểm của AE và BF.
CMR: 5 điểm A,B,C,D,M cùng thuộc1 đường tròn.
3.Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M. Đường thẳng MB cắt AB,AC lần lượt tại E và F.
a) CMR: MD^2=MC.MB
b) Gọi H là trung điểm của BC, CMR: MDHO là tứ giác nội tiếp.