Ta có:\(x\left(x+1\right)=y^2+1\Leftrightarrow x^2+x=y^2+1\Leftrightarrow4x^2+4x+1=4y^2+5\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y^2=5\Leftrightarrow\left(2x+2y+1\right).\left(2x-2y+1\right)=5\)

Do x,y thuộc Z nên  2x+2y+1 và 2x-2y+1 là ước của 5

Ta có bảng giá trị :

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;-1\right);\left(1;1\right);\left(-2;1\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

x²-2x+1=(6y²)-2x+2

x²-2x+1=(6y)(6y)-2x+1+1

x²=(6y²)+1

từ đó =>

x=5 y=2 nhé, mình ko trình bày được, thông cảm

\(x^2+45=y^2< =>y^2-x^2=45< =>\left(y-x\right)\left(y+x\right)=45=5.9=9.5=1.45=45.1=3.15=15.3\)

Vì là số nguyên tố nên \(x,y\) > 0 => \(y-x< y+x\)

Do đó \(\hept{\begin{cases}y-x=5\\y+x=9\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}y-x=1\\y+x=45\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}y-x=3\\y+x=15\end{cases}}\)

giải ra ,ta đc y=7;x=2(thỏa mãn) hoặc y=23;x=22 (loại)  hoặc y=9;x=6 (loại)

Vậy x=2;y=7

\(x^2+45=y^2\)

\(y^2>45.\text{ Do đó y là số nguyên tố lẻ}\)

\(\Rightarrow x\text{ là số nguyên tố chẵn }.\text{Vậy x = 2}\)

\(\text{Ta có : }y^2=4+45\Leftrightarrow y^2=49\Leftrightarrow y=7\)